Theorem alephadd 7615

Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephadd	⊢ ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B))

Proof of Theorem alephadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2	1, 1	cdavali 4940	. . . . . . 7 ⊢ (∅ +c ∅) = ((∅ × {∅}) ∪ (∅ × {1o}))
3		xpundi 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ({∅} ∪ {1o})) = ((∅ × {∅}) ∪ (∅ × {1o}))
4		xp0r 3255	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ({∅} ∪ {1o})) = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr2i 1508	. . . . . 6 ⊢ (∅ +c ∅) = ∅
6		ndmfv 3761	. . . . . . 7 ⊢ (¬ A ∈ dom ℵ → (ℵ ‘A) = ∅)
7		ndmfv 3761	. . . . . . 7 ⊢ (¬ B ∈ dom ℵ → (ℵ ‘B) = ∅)
8	6, 7	opreqan12d 3995	. . . . . 6 ⊢ ((¬ A ∈ dom ℵ ⋀ ¬ B ∈ dom ℵ) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) = (∅ +c ∅))
9	6	adantr 391	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ A ∈ dom ℵ ⋀ ¬ B ∈ dom ℵ) → (ℵ ‘A) = ∅)
10	7	adantl 390	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ A ∈ dom ℵ ⋀ ¬ B ∈ dom ℵ) → (ℵ ‘B) = ∅)
11	9, 10	uneq12d 2196	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ A ∈ dom ℵ ⋀ ¬ B ∈ dom ℵ) → ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)) = (∅ ∪ ∅))
12		un0 2309	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
13	11, 12	syl6eq 1530	. . . . . 6 ⊢ ((¬ A ∈ dom ℵ ⋀ ¬ B ∈ dom ℵ) → ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)) = ∅)
14	5, 8, 13	3eqtr4a 1539	. . . . 5 ⊢ ((¬ A ∈ dom ℵ ⋀ ¬ B ∈ dom ℵ) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) = ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
15		alephfnon 4882	. . . . . . . 8 ⊢ ℵ Fn On
16		fndm 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ dom ℵ = On
18	17	eleq2i 1545	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ dom ℵ ↔ A ∈ On)
19	18	notbii 187	. . . . 5 ⊢ (¬ A ∈ dom ℵ ↔ ¬ A ∈ On)
20	17	eleq2i 1545	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ dom ℵ ↔ B ∈ On)
21	20	notbii 187	. . . . 5 ⊢ (¬ B ∈ dom ℵ ↔ ¬ B ∈ On)
22	14, 19, 21	syl2anbr 459	. . . 4 ⊢ ((¬ A ∈ On ⋀ ¬ B ∈ On) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) = ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
23		oprex 3999	. . . . 5 ⊢ ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ∈ V
24		eqeng 4410	. . . . 5 ⊢ (((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ∈ V → (((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) = ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B))))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) = ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
26	22, 25	syl 10	. . 3 ⊢ ((¬ A ∈ On ⋀ ¬ B ∈ On) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
27	26	ex 373	. 2 ⊢ (¬ A ∈ On → (¬ B ∈ On → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B))))
28		alephgeom 4902	. . 3 ⊢ (A ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ ‘A))
29		fvex 3748	. . . . 5 ⊢ (ℵ ‘A) ∈ V
30		ssdom2g 4427	. . . . 5 ⊢ ((ℵ ‘A) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ ‘A) → ω ≼ (ℵ ‘A)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ ‘A) → ω ≼ (ℵ ‘A))
32		fvex 3748	. . . . 5 ⊢ (ℵ ‘B) ∈ V
33	29, 32	infcda 7600	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (ℵ ‘A) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
34	31, 33	syl 10	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ ‘A) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
35	28, 34	sylbi 199	. 2 ⊢ (A ∈ On → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
36		alephgeom 4902	. . 3 ⊢ (B ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ ‘B))
37		ssdom2g 4427	. . . . 5 ⊢ ((ℵ ‘B) ∈ V → (ω ⊆ (ℵ ‘B) → ω ≼ (ℵ ‘B)))
38	32, 37	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (ℵ ‘B) → ω ≼ (ℵ ‘B))
39	32, 29	infcda 7600	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ (ℵ ‘B) → ((ℵ ‘B) +c (ℵ ‘A)) ≈ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A)))
40	29, 32	cdacomen 4949	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘B) +c (ℵ ‘A))
41		entr 4432	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘B) +c (ℵ ‘A)) ⋀ ((ℵ ‘B) +c (ℵ ‘A)) ≈ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A))) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A)))
42	40, 41	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ (((ℵ ‘B) +c (ℵ ‘A)) ≈ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A)) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A)))
43	39, 42	syl 10	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (ℵ ‘B) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A)))
44		uncom 2187	. . . . 5 ⊢ ((ℵ ‘B) ∪ (ℵ ‘A)) = ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B))
45	43, 44	syl6breq 2669	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (ℵ ‘B) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
46	38, 45	syl 10	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ ‘B) → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
47	36, 46	sylbi 199	. 2 ⊢ (B ∈ On → ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B)))
48	27, 35, 47	pm2.61ii 130	1 ⊢ ((ℵ ‘A) +c (ℵ ‘B)) ≈ ((ℵ ‘A) ∪ (ℵ ‘B))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  Vcvv 1818   ∪ cun 2056   ⊆ wss 2058  ∅c0 2291  {csn 2421   class class class wbr 2634  Oncon0 2964  ωcom 3147   × cxp 3184  dom cdm 3186   Fn wfn 3193   ‘cfv 3198  (class class class)co 3979  1_oc1o 4144   ≈ cen 4382   ≼ cdom 4383  ℵcale 4831   +_c ccda 4937

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-reg 4608  ax-inf2 4642  ax-ac 4761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-iso 3215  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-2o 4150  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-fin 4389  df-card 4833  df-aleph 4834  df-cda 4938  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-n 5939  df-2 5984  df-n0 6132  df-z 6168  df-seq1 6509  df-exp 6600

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