Theorem arch 6103

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (A ∈ ℝ → ∃n ∈ ℕ A < n)

Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem arch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2637	. . 3 ⊢ (y = A → (y < n ↔ A < n))
2	1	rexbidv 1671	. 2 ⊢ (y = A → (∃n ∈ ℕ y < n ↔ ∃n ∈ ℕ A < n))
3		nnunb 6102	. . . 4 ⊢ ¬ ∃y ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y)
4		ralnex 1660	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ ℝ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y) ↔ ¬ ∃y ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y))
5	3, 4	mpbir 190	. . 3 ⊢ ∀y ∈ ℝ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y)
6		axlttri 5523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℝ) → (y < n ↔ ¬ (y = n ⋁ n < y)))
7		nnre 5943	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ ℕ → n ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan2 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ) → (y < n ↔ ¬ (y = n ⋁ n < y)))
9		eqcom 1484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = n ↔ n = y)
10	9	orbi1i 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y = n ⋁ n < y) ↔ (n = y ⋁ n < y))
11		orcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n = y ⋁ n < y) ↔ (n < y ⋁ n = y))
12	10, 11	bitri 173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y = n ⋁ n < y) ↔ (n < y ⋁ n = y))
13	12	notbii 187	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (y = n ⋁ n < y) ↔ ¬ (n < y ⋁ n = y))
14	8, 13	syl6bb 539	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ) → (y < n ↔ ¬ (n < y ⋁ n = y)))
15	14	biimprd 154	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ) → (¬ (n < y ⋁ n = y) → y < n))
16	15	r19.22dva 1746	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℝ → (∃n ∈ ℕ ¬ (n < y ⋁ n = y) → ∃n ∈ ℕ y < n))
17		rexnal 1661	. . . . 5 ⊢ (∃n ∈ ℕ ¬ (n < y ⋁ n = y) ↔ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y))
18	16, 17	syl5ibr 207	. . . 4 ⊢ (y ∈ ℝ → (¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y) → ∃n ∈ ℕ y < n))
19	18	r19.20i 1711	. . 3 ⊢ (∀y ∈ ℝ ¬ ∀n ∈ ℕ (n < y ⋁ n = y) → ∀y ∈ ℝ ∃n ∈ ℕ y < n)
20	5, 19	ax-mp 7	. 2 ⊢ ∀y ∈ ℝ ∃n ∈ ℕ y < n
21	2, 20	vtoclri 1866	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃n ∈ ℕ A < n)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∀wral 1652  ∃wrex 1653   class class class wbr 2634  ℝcr 5253  ℕcn 5316   < clt 5506

This theorem is referenced by:  nnrecl 6104  bndndx 6105  btwnz 6250  ubthlem5 8558  projlem1 9210  projlem26 9235

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-n 5939

Copyright terms: Public domain