Theorem axacnd 4984

Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacnd	⊢ ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))

Proof of Theorem axacnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem5 4983	. . . 4 ⊢ ∃x∀y∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))
2		hbnae 1151	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀x ¬ ∀z z = x)
3		hbnae 1151	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀x ¬ ∀z z = y)
4		hbnae 1151	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀x ¬ ∀z z = w)
5	3, 4	hban 1013	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀x(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
6	2, 5	hban 1013	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀x(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
7		hbnae 1151	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀y ¬ ∀z z = x)
8		hbnae 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀y ¬ ∀z z = y)
9		hbnae 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀y ¬ ∀z z = w)
10	8, 9	hban 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀y(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
11	7, 10	hban 1013	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀y(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
12		hbnae 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀z ¬ ∀z z = x)
13		hbnae 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀z ¬ ∀z z = y)
14		hbnae 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀z ¬ ∀z z = w)
15	13, 14	hban 1013	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀z(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
16	12, 15	hban 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀z(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
17		dveel1 1360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = y → (y ∈ v → ∀z y ∈ v))
18	17	ad2antrl 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (y ∈ v → ∀z y ∈ v))
19		dveel2 1361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = w → (v ∈ w → ∀z v ∈ w))
20	19	ad2antll 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (v ∈ w → ∀z v ∈ w))
21	18, 20	hband 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∀z(y ∈ v ⋀ v ∈ w)))
22	6, 21	hbald 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∀z∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w)))
23		hbnae 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀z z = x → ∀w ¬ ∀z z = x)
24		hbnae 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = y → ∀w ¬ ∀z z = y)
25		hbnae 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀z z = w → ∀w ¬ ∀z z = w)
26	24, 25	hban 1013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → ∀w(¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w))
27	23, 26	hban 1013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∀w(¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)))
28		ax-15 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∀z z = y → (¬ ∀z z = w → (y ∈ w → ∀z y ∈ w)))
29	28	imp 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → (y ∈ w → ∀z y ∈ w))
30	29	adantl 390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (y ∈ w → ∀z y ∈ w))
31		ax-15 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ ∀z z = w → (¬ ∀z z = x → (w ∈ x → ∀z w ∈ x)))
32	31	impcom 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ¬ ∀z z = w) → (w ∈ x → ∀z w ∈ x))
33	32	adantrl 396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (w ∈ x → ∀z w ∈ x))
34	30, 33	hband 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((y ∈ w ⋀ w ∈ x) → ∀z(y ∈ w ⋀ w ∈ x)))
35	21, 34	hband 1115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) → ∀z((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
36	27, 35	hbexd 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) → ∀z∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
37		ax-12 972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀z z = y → (¬ ∀z z = w → (y = w → ∀z y = w)))
38	37	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → (y = w → ∀z y = w))
39	38	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (y = w → ∀z y = w))
40	16, 36, 39	hbbid 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) → ∀z(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
41	11, 40	hbald 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) → ∀z∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
42	27, 41	hbexd 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) → ∀z∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
43	16, 22, 42	hbimd 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ((∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∀z(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
44		nd5 4962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∀z z = x → (v = z → ∀x v = z))
45	44	imdistani 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ v = z) → (¬ ∀z z = x ⋀ ∀x v = z))
46		hba1 1007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀x v = z → ∀x∀x v = z)
47		elequ2 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = z → (y ∈ v ↔ y ∈ z))
48		elequ1 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = z → (v ∈ w ↔ z ∈ w))
49	47, 48	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
50	49	a4s 988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀x v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
51	46, 50	albid 1108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x v = z → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
52	51	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ ∀x v = z) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
53	45, 52	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ v = z) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
54	53	adantlr 395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) ⋀ v = z) → (∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ ∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
55		nd5 4962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀z z = y → (v = z → ∀y v = z))
56		nd5 4962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∀z z = w → (v = z → ∀w v = z))
57	9, 56	hbald 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∀z z = w → (∀y v = z → ∀w∀y v = z))
58	55, 57	sylan9 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) → (v = z → ∀w∀y v = z))
59	58	imdistani 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ v = z) → ((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ ∀w∀y v = z))
60		hba1 1007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀w∀y v = z → ∀w∀w∀y v = z)
61		hba2 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀w∀y v = z → ∀y∀w∀y v = z)
62	49	a4s 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀y v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
63	62	a4s 988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀w∀y v = z → ((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ↔ (y ∈ z ⋀ z ∈ w)))
64	63	anbi1d 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀w∀y v = z → (((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
65	60, 64	exbid 1109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀w∀y v = z → (∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ ∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x))))
66	65	bibi1d 622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀w∀y v = z → ((∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ (∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
67	61, 66	albid 1108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀w∀y v = z → (∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
68	60, 67	exbid 1109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀w∀y v = z → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
69	68	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ ∀w∀y v = z) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
70	59, 69	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w) ⋀ v = z) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
71	70	adantll 394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) ⋀ v = z) → (∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w) ↔ ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
72	54, 71	imbi12d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) ⋀ v = z) → ((∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
73	72	ex 373	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (v = z → ((∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))))
74	16, 43, 73	cbvald 1324	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ ∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
75	11, 74	albid 1108	. . . . 5 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∀y∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ ∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
76	6, 75	exbid 1109	. . . 4 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → (∃x∀y∀v(∀x(y ∈ v ⋀ v ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ v ⋀ v ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) ↔ ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w))))
77	1, 76	mpbii 193	. . 3 ⊢ ((¬ ∀z z = x ⋀ (¬ ∀z z = y ⋀ ¬ ∀z z = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
78	77	exp32 379	. 2 ⊢ (¬ ∀z z = x → (¬ ∀z z = y → (¬ ∀z z = w → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))))
79		axacndlem2 4980	. . 3 ⊢ (∀x x = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
80	79	alequcoms 1147	. 2 ⊢ (∀z z = x → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
81		axacndlem3 4981	. . 3 ⊢ (∀y y = z → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
82	81	alequcoms 1147	. 2 ⊢ (∀z z = y → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
83		hbae 1149	. . . 4 ⊢ (∀z z = w → ∀y∀z z = w)
84		nd3 4960	. . . . . . 7 ⊢ (∀z z = w → ¬ ∀x z ∈ w)
85	84	pm2.21d 78	. . . . . 6 ⊢ (∀z z = w → (∀x z ∈ w → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
86		pm3.27 323	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) → z ∈ w)
87	86	19.20i 996	. . . . . 6 ⊢ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∀x z ∈ w)
88	85, 87	syl5 21	. . . . 5 ⊢ (∀z z = w → (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z X