Theorem axaddrcl 5292

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 6 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axaddrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5270	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃x(x ∈ R ⋀ ⟨x, 0R⟩ = A))
2		elreal 5270	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ⋀ ⟨y, 0R⟩ = B))
3		opreq1 3984	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = (A + ⟨y, 0R⟩))
4	3	eleq1d 1547	. 2 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		opreq2 3985	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (A + ⟨y, 0R⟩) = (A + B))
6	5	eleq1d 1547	. 2 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((A + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A + B) ∈ ℝ))
7		addresr 5276	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x +R y), 0R⟩)
8		addclsr 5212	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (x +R y) ∈ R)
9		opelreal 5269	. . . 4 ⊢ (⟨(x +R y), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (x +R y) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 200	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨(x +R y), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 1555	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ + ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 1836	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ⟨cop 2423  (class class class)co 3979  Rcnr 5013  0_Rc0r 5014   +_R cplr 5017  ℝcr 5253   + caddc 5257

This theorem is referenced by:  readdcl 5322

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-0r 5191  df-c 5260  df-r 5264  df-plus 5265

Copyright terms: Public domain