Theorem axdistr 5299

Description: Distributive law for complex numbers. Axiom 13 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axdistr	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → (A · (B + C)) = ((A · B) + (A · C)))

Proof of Theorem axdistr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5282	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		addcnsrec 5283	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E + [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨(z +R v), (w +R u)⟩]◡E)
3		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ ((z +R v) ∈ R ⋀ (w +R u) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨(z +R v), (w +R u)⟩]◡E) = [⟨((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))), ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u)))⟩]◡E)
4		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
5		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))), ((y ·R v) +R (x ·R u))⟩]◡E)
6		addcnsrec 5283	. 2 ⊢ (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) ⋀ (((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R ⋀ ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E + [⟨((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))), ((y ·R v) +R (x ·R u))⟩]◡E) = [⟨(((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u)))), (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))⟩]◡E)
7		addclsr 5212	. . . 4 ⊢ ((z ∈ R ⋀ v ∈ R) → (z +R v) ∈ R)
8		addclsr 5212	. . . 4 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (w +R u) ∈ R)
9	7, 8	anim12i 333	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z +R v) ∈ R ⋀ (w +R u) ∈ R))
10	9	an4s 511	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z +R v) ∈ R ⋀ (w +R u) ∈ R))
11		addclsr 5212	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ⋀ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
12		mulclsr 5213	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
13		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
14		m1r 5211	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
15		mulclsr 5213	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
16	14, 15	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
17	13, 16	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
18	11, 12, 17	syl2an 457	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
19	18	an4s 511	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
20		addclsr 5212	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ⋀ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
22		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ⋀ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
23	20, 21, 22	syl2an 457	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
24	23	ancoms 439	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
25	24	an42s 512	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
26	19, 25	jca 288	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R))
27		addclsr 5212	. . . . 5 ⊢ (((x ·R v) ∈ R ⋀ (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R)
28		mulclsr 5213	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ v ∈ R) → (x ·R v) ∈ R)
29		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ u ∈ R) → (y ·R u) ∈ R)
30		mulclsr 5213	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (y ·R u) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R)
31	14, 30	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R u) ∈ R → (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R)
32	29, 31	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ⋀ u ∈ R) → (-1R ·R (y ·R u)) ∈ R)
33	27, 28, 32	syl2an 457	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R)
34	33	an4s 511	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R)
35		addclsr 5212	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R v) ∈ R ⋀ (x ·R u) ∈ R) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
36		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ v ∈ R) → (y ·R v) ∈ R)
37		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ⋀ u ∈ R) → (x ·R u) ∈ R)
38	35, 36, 37	syl2an 457	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
39	38	ancoms 439	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ u ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ v ∈ R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
40	39	an42s 512	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R)
41	34, 40	jca 288	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → (((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) ∈ R ⋀ ((y ·R v) +R (x ·R u)) ∈ R))
42		visset 1820	. . . . 5 ⊢ z ∈ V
43		visset 1820	. . . . 5 ⊢ v ∈ V
44	42, 43	distrsr 5220	. . . 4 ⊢ (x ·R (z +R v)) = ((x ·R z) +R (x ·R v))
45		visset 1820	. . . . . . 7 ⊢ w ∈ V
46		visset 1820	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
47	45, 46	distrsr 5220	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (w +R u)) = ((y ·R w) +R (y ·R u))
48	47	opreq2i 3988	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w +R u))) = (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u)))
49		oprex 3999	. . . . . 6 ⊢ (y ·R w) ∈ V
50		oprex 3999	. . . . . 6 ⊢ (y ·R u) ∈ V
51	49, 50	distrsr 5220	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))
52	48, 51	eqtri 1502	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w +R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))
53	44, 52	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ ((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))) = (((x ·R z) +R (x ·R v)) +R ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u))))
54		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R z) ∈ V
55		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R v) ∈ V
56		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ V
57		visset 1820	. . . . 5 ⊢ f ∈ V
58		visset 1820	. . . . 5 ⊢ g ∈ V
59	57, 58	addcomsr 5216	. . . 4 ⊢ (f +R g) = (g +R f)
60		visset 1820	. . . . 5 ⊢ h ∈ V
61	58, 60	addasssr 5217	. . . 4 ⊢ ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
62		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R u)) ∈ V
63	54, 55, 56, 59, 61, 62	caopr4 4080	. . 3 ⊢ (((x ·R z) +R (x ·R v)) +R ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))) = (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))))
64	53, 63	eqtri 1502	. 2 ⊢ ((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))) = (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))))
65	42, 43	distrsr 5220	. . . 4 ⊢ (y ·R (z +R v)) = ((y ·R z) +R (y ·R v))
66	45, 46	distrsr 5220	. . . 4 ⊢ (x ·R (w +R u)) = ((x ·R w) +R (x ·R u))
67	65, 66	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u))) = (((y ·R z) +R (y ·R v)) +R ((x ·R w) +R (x ·R u)))
68		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (y ·R z) ∈ V
69		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (y ·R v) ∈ V
70		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R w) ∈ V
71		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R u) ∈ V
72	68, 69, 70, 59, 61, 71	caopr4 4080	. . 3 ⊢ (((y ·R z) +R (y ·R v)) +R ((x ·R w) +R (x ·R u))) = (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))
73	67, 72	eqtri 1502	. 2 ⊢ ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u))) = (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))
74	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 26, 41, 64, 73	ecoprdi 4339	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → (A · (B + C)) = ((A · B) + (A · C)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779   = wceq 960   ∈ wcel 962  Ecep 2846  ^◡ccnv 3185  (class class class)co 3979  Rcnr 5013  -1_Rcm1r 5016   +_R cplr 5017   ·_R cmr 5018  ℂcc 5252   + caddc 5257   · cmul 5259

This theorem is referenced by:  adddi 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-m1r 5193  df-c 5260  df-plus 5265  df-mul 5266

Copyright terms: Public domain