Theorem axhcompl 8868

Description: Derive axiom ax-hcompl 9071 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ U = ⟨⟨ +h , ·h ⟩, normh⟩
axhil.2	⊢ U ∈ CHil

Assertion

Ref	Expression
axhcompl	⊢ (F ∈ Cauchy → ∃x ∈ ℋ F ⇝v x)

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem axhcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . 5 ⊢ U ∈ CHil
2		df-hba 8838	. . . . . . 7 ⊢ ℋ = (Base ‘⟨⟨ +h , ·h ⟩, normh⟩)
3		axhil.1	. . . . . . . 8 ⊢ U = ⟨⟨ +h , ·h ⟩, normh⟩
4	3	fveq2i 3727	. . . . . . 7 ⊢ (Base ‘U) = (Base ‘⟨⟨ +h , ·h ⟩, normh⟩)
5	2, 4	eqtr4 1498	. . . . . 6 ⊢ ℋ = (Base ‘U)
6		eqid 1475	. . . . . 6 ⊢ (IndMet ‘U) = (IndMet ‘U)
7	5, 6	hlcompl 8617	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ CHil ⋀ F ∈ (Cau ‘(IndMet ‘U))) → ∃y ∈ ℋ F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y)
8	1, 7	mpan 695	. . . 4 ⊢ (F ∈ (Cau ‘(IndMet ‘U)) → ∃y ∈ ℋ F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y)
9	8	anim1i 334	. . 3 ⊢ ((F ∈ (Cau ‘(IndMet ‘U)) ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃y ∈ ℋ F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
10	1	hlnvi 8596	. . . . . 6 ⊢ U ∈ NrmCVec
11	3, 10, 5, 6	h2hcau 8849	. . . . 5 ⊢ Cauchy = ((Cau ‘(IndMet ‘U)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
12	11	eleq2i 1538	. . . 4 ⊢ (F ∈ Cauchy ↔ F ∈ ((Cau ‘(IndMet ‘U)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
13		elin 2207	. . . 4 ⊢ (F ∈ ((Cau ‘(IndMet ‘U)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (F ∈ (Cau ‘(IndMet ‘U)) ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
14	12, 13	bitr 173	. . 3 ⊢ (F ∈ Cauchy ↔ (F ∈ (Cau ‘(IndMet ‘U)) ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
15	3, 10, 5, 6	h2hlm 8850	. . . . . . 7 ⊢ ⇝v = ((⇝m ‘(IndMet ‘U)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
16	15	breqi 2625	. . . . . 6 ⊢ (F ⇝v y ↔ F((⇝m ‘(IndMet ‘U)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))y)
17		visset 1813	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
18	17	brres 3373	. . . . . 6 ⊢ (F((⇝m ‘(IndMet ‘U)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))y ↔ (F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
19	16, 18	bitr 173	. . . . 5 ⊢ (F ⇝v y ↔ (F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
20	19	rexbii 1668	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ ℋ F ⇝v y ↔ ∃y ∈ ℋ (F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
21		r19.41v 1763	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ ℋ (F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (∃y ∈ ℋ F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
22	20, 21	bitr 173	. . 3 ⊢ (∃y ∈ ℋ F ⇝v y ↔ (∃y ∈ ℋ F(⇝m ‘(IndMet ‘U))y ⋀ F ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
23	9, 14, 22	3imtr4 219	. 2 ⊢ (F ∈ Cauchy → ∃y ∈ ℋ F ⇝v y)
24		breq2 2623	. . 3 ⊢ (y = x → (F ⇝v y ↔ F ⇝v x))
25	24	cbvrexv 1801	. 2 ⊢ (∃y ∈ ℋ F ⇝v y ↔ ∃x ∈ ℋ F ⇝v x)
26	23, 25	sylib 198	1 ⊢ (F ∈ Cauchy → ∃x ∈ ℋ F ⇝v x)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 956   ∈ wcel 958  ∃wrex 1646   ∩ cin 2046  ⟨cop 2411   class class class wbr 2619   ↾ cres 3172   ‘cfv 3182  (class class class)co 3963   ↑_m cm 4322  ℕcn 5296  ⇝_mclm 7919  Caucca 7920  Basecba 8205  IndMetcims 8210  CHilchl 8589   ℋ chil 8788   +_h cva 8789   ·_h csm 8790  norm_hcno 8794  Cauchyccau 8795   ⇝_v chli 8796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-met 7793  df-lm 7922  df-cau 7923  df-cmet 7924  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-bn 8523  df-hl 8590  df-hba 8838  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842

Copyright terms: Public domain