Theorem axi2m1 5305

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5209	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
2		1r 5210	. . . . . . 7 ⊢ 1R ∈ R
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . . 6 ⊢ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)
4		mulcnsr 5274	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) ⋀ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
5	3, 3, 4	mp2an 701	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
6		00sr 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
8		1idsr 5227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
11		m1r 5211	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
12		1idsr 5227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtri 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3989	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1825	. . . . . . . 8 ⊢ 0R ∈ V
17	11	elisseti 1825	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ V
18	16, 17	addcomsr 5216	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 5226	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtri 1506	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
22		00sr 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
24		1idsr 5227	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3989	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 5226	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtri 1502	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2506	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
31	5, 30	eqtri 1502	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
32	31	opreq1i 3987	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
33		addresr 5276	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
34	11, 2, 33	mp2an 701	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
35		m1p1sr 5221	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2504	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
37	32, 34, 36	3eqtri 1506	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
38		df-i 5263	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
39	38, 38	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
40		df-1 5262	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
41	39, 40	opreq12i 3989	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
42		df-0 5261	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
43	37, 41, 42	3eqtr4i 1512	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ⟨cop 2423  (class class class)co 3979  Rcnr 5013  0_Rc0r 5014  1_Rc1r 5015  -1_Rcm1r 5016   +_R cplr 5017   ·_R cmr 5018  0cc0 5254  1c1 5255  ici 5256   + caddc 5257   · cmul 5259

This theorem is referenced by:  0cn 5348  ine0 5454  ixi 5701  inelr 6767

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-plus 5265  df-mul 5266

Copyright terms: Public domain