Theorem axmulass 5298

Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 12 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulass	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Proof of Theorem axmulass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5282	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
3		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E)
4		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E · [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))), ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u))⟩]◡E)
5		mulcnsrec 5284	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ⋀ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))), ((w ·R v) +R (z ·R u))⟩]◡E) = [⟨((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))), ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))⟩]◡E)
6		addclsr 5212	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) ∈ R ⋀ (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
7		mulclsr 5213	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ z ∈ R) → (x ·R z) ∈ R)
8		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (y ·R w) ∈ R)
9		m1r 5211	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 5213	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (y ·R w) ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
11	9, 10	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ ((y ·R w) ∈ R → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
12	8, 11	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (-1R ·R (y ·R w)) ∈ R)
13	6, 7, 12	syl2an 457	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
14	13	an4s 511	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R)
15		addclsr 5212	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) ∈ R ⋀ (x ·R w) ∈ R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
16		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R ⋀ z ∈ R) → (y ·R z) ∈ R)
17		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ R ⋀ w ∈ R) → (x ·R w) ∈ R)
18	15, 16, 17	syl2an 457	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
19	18	ancoms 439	. . . 4 ⊢ (((x ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ z ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
20	19	an42s 512	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R)
21	14, 20	jca 288	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ∈ R ⋀ ((y ·R z) +R (x ·R w)) ∈ R))
22		addclsr 5212	. . . . 5 ⊢ (((z ·R v) ∈ R ⋀ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
23		mulclsr 5213	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ R ⋀ v ∈ R) → (z ·R v) ∈ R)
24		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (w ·R u) ∈ R)
25		mulclsr 5213	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ (w ·R u) ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
26	9, 25	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ ((w ·R u) ∈ R → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
27	24, 26	syl 10	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (-1R ·R (w ·R u)) ∈ R)
28	22, 23, 27	syl2an 457	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
29	28	an4s 511	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R)
30		addclsr 5212	. . . . . 6 ⊢ (((w ·R v) ∈ R ⋀ (z ·R u) ∈ R) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
31		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ R ⋀ v ∈ R) → (w ·R v) ∈ R)
32		mulclsr 5213	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ R ⋀ u ∈ R) → (z ·R u) ∈ R)
33	30, 31, 32	syl2an 457	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
34	33	ancoms 439	. . . 4 ⊢ (((z ∈ R ⋀ u ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ v ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
35	34	an42s 512	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R)
36	29, 35	jca 288	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → (((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ R ⋀ ((w ·R v) +R (z ·R u)) ∈ R))
37		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R v)) ∈ V
38		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
39		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R v))) ∈ V
40		visset 1820	. . . . 5 ⊢ f ∈ V
41		visset 1820	. . . . 5 ⊢ g ∈ V
42	40, 41	addcomsr 5216	. . . 4 ⊢ (f +R g) = (g +R f)
43		visset 1820	. . . . 5 ⊢ h ∈ V
44	41, 43	addasssr 5217	. . . 4 ⊢ ((f +R g) +R h) = (f +R (g +R h))
45		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R (z ·R u))) ∈ V
46	37, 38, 39, 42, 44, 45	caopr42 4082	. . 3 ⊢ (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
47		oprex 3999	. . . . 5 ⊢ (z ·R v) ∈ V
48		oprex 3999	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (w ·R u)) ∈ V
49	47, 48	distrsr 5220	. . . 4 ⊢ (x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
50		oprex 3999	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R v) ∈ V
51		oprex 3999	. . . . . . 7 ⊢ (z ·R u) ∈ V
52	50, 51	distrsr 5220	. . . . . 6 ⊢ (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))
53	52	opreq2i 3988	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u))))
54		oprex 3999	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (w ·R v)) ∈ V
55		oprex 3999	. . . . . 6 ⊢ (y ·R (z ·R u)) ∈ V
56	54, 55	distrsr 5220	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (w ·R v)) +R (y ·R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
57	53, 56	eqtri 1502	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u))))
58	49, 57	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((-1R ·R (y ·R (w ·R v))) +R (-1R ·R (y ·R (z ·R u)))))
59		visset 1820	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
60	9	elisseti 1825	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ V
61		visset 1820	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
62	40, 41	mulcomsr 5218	. . . . . 6 ⊢ (f ·R g) = (g ·R f)
63	41, 43	distrsr 5220	. . . . . 6 ⊢ (f ·R (g +R h)) = ((f ·R g) +R (f ·R h))
64		oprex 3999	. . . . . 6 ⊢ (y ·R w) ∈ V
65		visset 1820	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
66	41, 43	mulasssr 5219	. . . . . 6 ⊢ ((f ·R g) ·R h) = (f ·R (g ·R h))
67	59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66	caoprdilem 4084	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)))
68		visset 1820	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
69	68, 65	mulasssr 5219	. . . . . . 7 ⊢ ((y ·R w) ·R v) = (y ·R (w ·R v))
70	69	opreq2i 3988	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R v)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))
71	70	opreq2i 3988	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R v))) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
72	67, 71	eqtri 1502	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) = ((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v))))
73		visset 1820	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
74		visset 1820	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
75	73, 59, 61, 62, 63, 68, 74, 66	caoprdilem 4084	. . . . . 6 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u) = ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))
76	75	opreq2i 3988	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u))))
77		oprex 3999	. . . . . 6 ⊢ (x ·R (w ·R u)) ∈ V
78	55, 77	distrsr 5220	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((y ·R (z ·R u)) +R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u))))
79		oprex 3999	. . . . . . 7 ⊢ (w ·R u) ∈ V
80	60, 59, 79, 62, 66	caopr12 4077	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (x ·R (w ·R u))) = (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))
81	80	opreq2i 3988	. . . . 5 ⊢ ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (-1R ·R (x ·R (w ·R u)))) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
82	76, 78, 81	3eqtri 1506	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u)) = ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u))))
83	72, 82	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = (((x ·R (z ·R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w ·R v)))) +R ((-1R ·R (y ·R (z ·R u))) +R (x ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
84	46, 58, 83	3eqtr4ri 1513	. 2 ⊢ ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R v) +R (-1R ·R (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R u))) = ((x ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (-1R ·R (y ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))))
85		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (y ·R (z ·R v)) ∈ V
86		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (y ·R (-1R ·R (w ·R u))) ∈ V
87		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R (w ·R v)) ∈ V
88		oprex 3999	. . . 4 ⊢ (x ·R (z ·R u)) ∈ V
89	85, 86, 87, 42, 44, 88	caopr42 4082	. . 3 ⊢ (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
90	47, 48	distrsr 5220	. . . 4 ⊢ (y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) = ((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
91	50, 51	distrsr 5220	. . . 4 ⊢ (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))) = ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u)))
92	90, 91	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u)))) = (((y ·R (z ·R v)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))) +R ((x ·R (w ·R v)) +R (x ·R (z ·R u))))
93	73, 59, 61, 62, 63, 68, 65, 66	caoprdilem 4084	. . . 4 ⊢ (((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) = ((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v)))
94	59, 60, 61, 62, 63, 64, 74, 66	caoprdilem 4084	. . . . 5 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)))
95	68, 74	mulasssr 5219	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ·R w) ·R u) = (y ·R (w ·R u))
96	95	opreq2i 3988	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (-1R ·R (y ·R (w ·R u)))
97	60, 73, 79, 62, 66	caopr12 4077	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R (y ·R (w ·R u))) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
98	96, 97	eqtri 1502	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((y ·R w) ·R u)) = (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))
99	98	opreq2i 3988	. . . . 5 ⊢ ((x ·R (z ·R u)) +R (-1R ·R ((y ·R w) ·R u))) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
100	94, 99	eqtri 1502	. . . 4 ⊢ (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u) = ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u))))
101	93, 100	opreq12i 3989	. . 3 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = (((y ·R (z ·R v)) +R (x ·R (w ·R v))) +R ((x ·R (z ·R u)) +R (y ·R (-1R ·R (w ·R u)))))
102	89, 92, 101	3eqtr4ri 1513	. 2 ⊢ ((((y ·R z) +R (x ·R w)) ·R v) +R (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) ·R u)) = ((y ·R ((z ·R v) +R (-1R ·R (w ·R u)))) +R (x ·R ((w ·R v) +R (z ·R u))))
103	1, 2, 3, 4, 5, 21, 36, 84, 102	ecoprass 4338	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779   = wceq 960   ∈ wcel 962  Ecep 2846  ^◡ccnv 3185  (class class class)co 3979  Rcnr 5013  -1_Rcm1r 5016   +_R cplr 5017   ·_R cmr 5018  ℂcc 5252   · cmul 5259

This theorem is referenced by:  mulass 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-m1r 5193  df-c 5260  df-mul 5266

Copyright terms: Public domain