Theorem axmulgt0 5526

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 25 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axmulgt0 5310 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 < A ⋀ 0 < B) → 0 < (A · B)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axmulgt0 5310	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 <ℝ A ⋀ 0 <ℝ B) → 0 <ℝ (A · B)))
2		0re 5460	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 5520	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ A ∈ ℝ) → (0 < A ↔ 0 <ℝ A))
4	2, 3	mpan 699	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < A ↔ 0 <ℝ A))
5		ltxrlt 5520	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (0 < B ↔ 0 <ℝ B))
6	2, 5	mpan 699	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (0 < B ↔ 0 <ℝ B))
7	4, 6	bi2anan9 635	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 < A ⋀ 0 < B) ↔ (0 <ℝ A ⋀ 0 <ℝ B)))
8		remulcl 5324	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)
9		ltxrlt 5520	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ (A · B) ∈ ℝ) → (0 < (A · B) ↔ 0 <ℝ (A · B)))
10	2, 9	mpan 699	. . 3 ⊢ ((A · B) ∈ ℝ → (0 < (A · B) ↔ 0 <ℝ (A · B)))
11	8, 10	syl 10	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (0 < (A · B) ↔ 0 <ℝ (A · B)))
12	1, 7, 11	3imtr4d 546	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 < A ⋀ 0 < B) → 0 < (A · B)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 962   class class class wbr 2634  (class class class)co 3979  ℝcr 5253  0cc0 5254   <_ℝ cltrr 5258   · cmul 5259   < clt 5506

This theorem is referenced by:  mulgt0 5529  mulgt0i 5626  rpmulcl 6073  expgt0 6620  sin02gt0 7511  znnen 7535  sinq12gt0t 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510

Copyright terms: Public domain