Theorem axsup 5527

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 5311 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 5311	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
2	1	3expia 839	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
3		ltxrlt 5520	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
4		ssel2 2075	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) → y ∈ ℝ)
5	3, 4	sylan 451	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) ⋀ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
6	5	an1rs 492	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (y < x ↔ y <ℝ x))
7	6	ralbidva 1666	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A y < x ↔ ∀y ∈ A y <ℝ x))
8	7	rexbidva 1667	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x))
9	8	adantr 391	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x))
10		ltxrlt 5520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
11	10	ancoms 439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
12	11, 4	sylan 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) ⋀ x ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
13	12	an1rs 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (x < y ↔ x <ℝ y))
14	13	notbid 614	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (¬ x < y ↔ ¬ x <ℝ y))
15	14	ralbidva 1666	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A ¬ x < y ↔ ∀y ∈ A ¬ x <ℝ y))
16	3	ancoms 439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
17	16	adantll 394	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
18		ltxrlt 5520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ z ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
19	18	ancoms 439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
20		ssel2 2075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ z ∈ A) → z ∈ ℝ)
21	19, 20	sylan 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
22	21	an1rs 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ z ∈ A) → (y < z ↔ y <ℝ z))
23	22	rexbidva 1667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z ∈ A y <ℝ z))
24	23	adantlr 395	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z ∈ A y <ℝ z))
25	17, 24	imbi12d 629	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → ((y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
26	25	ralbidva 1666	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
27	15, 26	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → ((∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
28	27	rexbidva 1667	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
29	28	adantr 391	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 546	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
31	30	3impia 834	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779   ∈ wcel 962   ≠ wne 1592  ∀wral 1652  ∃wrex 1653   ⊆ wss 2058  ∅c0 2291   class class class wbr 2634  ℝcr 5253   <_ℝ cltrr 5258   < clt 5506

This theorem is referenced by:  sup2 6083  sqrlem7 6711  sqrlem8 6712  sqrlem13 6717  sqrlem18 6722

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-r 5264  df-lt 5267  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510

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