Theorem axunndlem1 4967

Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axunndlem1	⊢ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x)

Distinct variable groups:   x,y   x,z

Proof of Theorem axunndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1149	. . . . . 6 ⊢ (∀y y = z → ∀x∀y y = z)
2		en2lp 4619	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (y ∈ x ⋀ x ∈ y)
3		elequ2 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (x ∈ y ↔ x ∈ z))
4	3	anbi2d 619	. . . . . . . 8 ⊢ (y = z → ((y ∈ x ⋀ x ∈ y) ↔ (y ∈ x ⋀ x ∈ z)))
5	2, 4	mtbii 720	. . . . . . 7 ⊢ (y = z → ¬ (y ∈ x ⋀ x ∈ z))
6	5	a4s 988	. . . . . 6 ⊢ (∀y y = z → ¬ (y ∈ x ⋀ x ∈ z))
7	1, 6	nexd 1106	. . . . 5 ⊢ (∀y y = z → ¬ ∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z))
8	7	pm2.21d 78	. . . 4 ⊢ (∀y y = z → (∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x))
9	8	a5i 993	. . 3 ⊢ (∀y y = z → ∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x))
10		19.8a 1033	. . 3 ⊢ (∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x) → ∃x∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x))
11	9, 10	syl 10	. 2 ⊢ (∀y y = z → ∃x∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x))
12		axun 2883	. . 3 ⊢ ∃x∀w(∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x)
13		hbnae 1151	. . . 4 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀x ¬ ∀y y = z)
14		hbnae 1151	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∀y ¬ ∀y y = z)
15		ax-17 975	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ x → ∀y w ∈ x)
16	15	a1i 8	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w ∈ x → ∀y w ∈ x))
17		dveel2 1361	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀y y = z → (x ∈ z → ∀y x ∈ z))
18	16, 17	hband 1115	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀y y = z → ((w ∈ x ⋀ x ∈ z) → ∀y(w ∈ x ⋀ x ∈ z)))
19	13, 18	hbexd 1118	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → ∀y∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z)))
20	14, 19, 16	hbimd 1114	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y y = z → ((∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x) → ∀y(∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x)))
21		elequ1 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
22	21	anbi1d 620	. . . . . . . 8 ⊢ (w = y → ((w ∈ x ⋀ x ∈ z) ↔ (y ∈ x ⋀ x ∈ z)))
23	22	exbidv 1283	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) ↔ ∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z)))
24	23, 21	imbi12d 629	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ (∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x)))
25	24	a1i 8	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y y = z → (w = y → ((∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ (∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x))))
26	14, 20, 25	cbvald 1324	. . . 4 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∀w(∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x)))
27	13, 26	exbid 1109	. . 3 ⊢ (¬ ∀y y = z → (∃x∀w(∃x(w ∈ x ⋀ x ∈ z) → w ∈ x) ↔ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x)))
28	12, 27	mpbii 193	. 2 ⊢ (¬ ∀y y = z → ∃x∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x))
29	11, 28	pm2.61i 126	1 ⊢ ∃x∀y(∃x(y ∈ x ⋀ x ∈ z) → y ∈ x)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 958   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wex 984

This theorem is referenced by:  axunnd 4968

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-sep 2718  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-reg 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-v 1819  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-nul 2292  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-op 2428  df-br 2635  df-opab 2682  df-eprel 2848  df-fr 2933

Copyright terms: Public domain