Theorem blnei 7905

Description: A ball around a point is a neighborhood of the point.

Hypotheses

Ref	Expression
blopn.1	⊢ X = dom dom D
blopn.2	⊢ J = (Open ‘D)

Assertion

Ref	Expression
blnei	⊢ (((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) ⋀ (R ∈ ℝ ⋀ 0 < R)) → (P( ball ‘D)R) ∈ ((nei ‘J) ‘{P}))

Proof of Theorem blnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blopn.1	. . . 4 ⊢ X = dom dom D
2	1	blssm 7876	. . 3 ⊢ (((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) ⋀ (R ∈ ℝ ⋀ 0 < R)) → (P( ball ‘D)R) ⊆ X)
3		ssid 2091	. . . . 5 ⊢ (P( ball ‘D)R) ⊆ (P( ball ‘D)R)
4		breq2 2638	. . . . . . 7 ⊢ (r = R → (0 < r ↔ 0 < R))
5		opreq2 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (r = R → (P( ball ‘D)r) = (P( ball ‘D)R))
6	5	sseq1d 2099	. . . . . . 7 ⊢ (r = R → ((P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R) ↔ (P( ball ‘D)R) ⊆ (P( ball ‘D)R)))
7	4, 6	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (r = R → ((0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R)) ↔ (0 < R ⋀ (P( ball ‘D)R) ⊆ (P( ball ‘D)R))))
8	7	rcla4ev 1884	. . . . 5 ⊢ ((R ∈ ℝ ⋀ (0 < R ⋀ (P( ball ‘D)R) ⊆ (P( ball ‘D)R))) → ∃r ∈ ℝ (0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R)))
9	3, 8	mpanr2 714	. . . 4 ⊢ ((R ∈ ℝ ⋀ 0 < R) → ∃r ∈ ℝ (0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R)))
10	9	adantl 390	. . 3 ⊢ (((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) ⋀ (R ∈ ℝ ⋀ 0 < R)) → ∃r ∈ ℝ (0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R)))
11	2, 10	jca 288	. 2 ⊢ (((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) ⋀ (R ∈ ℝ ⋀ 0 < R)) → ((P( ball ‘D)R) ⊆ X ⋀ ∃r ∈ ℝ (0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R))))
12		blopn.2	. . . 4 ⊢ J = (Open ‘D)
13	1, 12	neibl 7903	. . 3 ⊢ ((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) → ((P( ball ‘D)R) ∈ ((nei ‘J) ‘{P}) ↔ ((P( ball ‘D)R) ⊆ X ⋀ ∃r ∈ ℝ (0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R)))))
14	13	adantr 391	. 2 ⊢ (((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) ⋀ (R ∈ ℝ ⋀ 0 < R)) → ((P( ball ‘D)R) ∈ ((nei ‘J) ‘{P}) ↔ ((P( ball ‘D)R) ⊆ X ⋀ ∃r ∈ ℝ (0 < r ⋀ (P( ball ‘D)r) ⊆ (P( ball ‘D)R)))))
15	11, 14	mpbird 196	1 ⊢ (((D ∈ Met ⋀ P ∈ X) ⋀ (R ∈ ℝ ⋀ 0 < R)) → (P( ball ‘D)R) ∈ ((nei ‘J) ‘{P}))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wrex 1653   ⊆ wss 2058  {csn 2421   class class class wbr 2634  dom cdm 3186   ‘cfv 3198  (class class class)co 3979  ℝcr 5253  0cc0 5254   < clt 5506  neicnei 7738  Metcme 7815   ball cbl 7817  Opencopn 7818

This theorem is referenced by:  lpbl 7906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-top 7625  df-nei 7739  df-met 7819  df-bl 7821  df-opn 7822

Copyright terms: Public domain