Theorem cj11OLD 7032

Description: Complex conjugate is a one-to-one function.

Assertion

Ref	Expression
cj11OLD	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((∗ ‘A) = (∗ ‘B) ↔ A = B))

Proof of Theorem cj11OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg11 5563	. . . . 5 ⊢ (((ℑ ‘A) ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘B) ∈ ℂ) → (-(ℑ ‘A) = -(ℑ ‘B) ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘B)))
2		imcl 6959	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ ‘A) ∈ ℝ)
3	2	recnd 5469	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ ‘A) ∈ ℂ)
4		imcl 6959	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℂ → (ℑ ‘B) ∈ ℝ)
5	4	recnd 5469	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (ℑ ‘B) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	syl2an 456	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (-(ℑ ‘A) = -(ℑ ‘B) ↔ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘B)))
7	6	anbi2d 619	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((ℜ ‘A) = (ℜ ‘B) ⋀ -(ℑ ‘A) = -(ℑ ‘B)) ↔ ((ℜ ‘A) = (ℜ ‘B) ⋀ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘B))))
8		cru 6939	. . . 4 ⊢ ((((ℜ ‘A) ∈ ℝ ⋀ -(ℑ ‘A) ∈ ℝ) ⋀ ((ℜ ‘B) ∈ ℝ ⋀ -(ℑ ‘B) ∈ ℝ)) → (((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))) ↔ ((ℜ ‘A) = (ℜ ‘B) ⋀ -(ℑ ‘A) = -(ℑ ‘B))))
9		recl 6958	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ ‘A) ∈ ℝ)
10		renegcl 5591	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘A) ∈ ℝ → -(ℑ ‘A) ∈ ℝ)
11	2, 10	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → -(ℑ ‘A) ∈ ℝ)
12	9, 11	jca 286	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℜ ‘A) ∈ ℝ ⋀ -(ℑ ‘A) ∈ ℝ))
13		recl 6958	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (ℜ ‘B) ∈ ℝ)
14		renegcl 5591	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘B) ∈ ℝ → -(ℑ ‘B) ∈ ℝ)
15	4, 14	syl 10	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → -(ℑ ‘B) ∈ ℝ)
16	13, 15	jca 286	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → ((ℜ ‘B) ∈ ℝ ⋀ -(ℑ ‘B) ∈ ℝ))
17	8, 12, 16	syl2an 456	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))) ↔ ((ℜ ‘A) = (ℜ ‘B) ⋀ -(ℑ ‘A) = -(ℑ ‘B))))
18		cru 6939	. . . 4 ⊢ ((((ℜ ‘A) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘A) ∈ ℝ) ⋀ ((ℜ ‘B) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘B) ∈ ℝ)) → (((ℜ ‘A) + (i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · (ℑ ‘B))) ↔ ((ℜ ‘A) = (ℜ ‘B) ⋀ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘B))))
19	9, 2	jca 286	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℜ ‘A) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘A) ∈ ℝ))
20	13, 4	jca 286	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → ((ℜ ‘B) ∈ ℝ ⋀ (ℑ ‘B) ∈ ℝ))
21	18, 19, 20	syl2an 456	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((ℜ ‘A) + (i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · (ℑ ‘B))) ↔ ((ℜ ‘A) = (ℜ ‘B) ⋀ (ℑ ‘A) = (ℑ ‘B))))
22	7, 17, 21	3bitr4d 553	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))) ↔ ((ℜ ‘A) + (i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · (ℑ ‘B)))))
23		negsub 5536	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) ∈ ℂ ⋀ (i · (ℑ ‘A)) ∈ ℂ) → ((ℜ ‘A) + -(i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))
24	9	recnd 5469	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ ‘A) ∈ ℂ)
25		axicn 5424	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
26		mulcl 5457	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘A) ∈ ℂ) → (i · (ℑ ‘A)) ∈ ℂ)
27	25, 26	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘A) ∈ ℂ → (i · (ℑ ‘A)) ∈ ℂ)
28	3, 27	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (i · (ℑ ‘A)) ∈ ℂ)
29	23, 24, 28	sylanc 473	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℜ ‘A) + -(i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))
30	3, 25	jctil 290	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘A) ∈ ℂ))
31		mulneg2 5606	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘A) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ ‘A)) = -(i · (ℑ ‘A)))
32	30, 31	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (i · -(ℑ ‘A)) = -(i · (ℑ ‘A)))
33	32	opreq2d 4034	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘A) + -(i · (ℑ ‘A))))
34		cjval 6964	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))
35	29, 33, 34	3eqtr4rd 1561	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))))
36		negsub 5536	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘B) ∈ ℂ ⋀ (i · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ) → ((ℜ ‘B) + -(i · (ℑ ‘B))) = ((ℜ ‘B) − (i · (ℑ ‘B))))
37	13	recnd 5469	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (ℜ ‘B) ∈ ℂ)
38		mulcl 5457	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘B) ∈ ℂ) → (i · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ)
39	25, 38	mpan 699	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘B) ∈ ℂ → (i · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ)
40	5, 39	syl 10	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (i · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ)
41	36, 37, 40	sylanc 473	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → ((ℜ ‘B) + -(i · (ℑ ‘B))) = ((ℜ ‘B) − (i · (ℑ ‘B))))
42	5, 25	jctil 290	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℂ → (i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘B) ∈ ℂ))
43		mulneg2 5606	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ⋀ (ℑ ‘B) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ ‘B)) = -(i · (ℑ ‘B)))
44	42, 43	syl 10	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (i · -(ℑ ‘B)) = -(i · (ℑ ‘B)))
45	44	opreq2d 4034	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))) = ((ℜ ‘B) + -(i · (ℑ ‘B))))
46		cjval 6964	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) − (i · (ℑ ‘B))))
47	41, 45, 46	3eqtr4rd 1561	. . 3 ⊢ (B ∈ ℂ → (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))))
48	35, 47	eqeqan12d 1533	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((∗ ‘A) = (∗ ‘B) ↔ ((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B)))))
49		replim 6962	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → A = ((ℜ ‘A) + (i · (ℑ ‘A))))
50		replim 6962	. . 3 ⊢ (B ∈ ℂ → B = ((ℜ ‘B) + (i · (ℑ ‘B))))
51	49, 50	eqeqan12d 1533	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A = B ↔ ((ℜ ‘A) + (i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘B) + (i · (ℑ ‘B)))))
52	22, 48, 51	3bitr4d 553	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((∗ ‘A) = (∗ ‘B) ↔ A = B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 144   ⋀ wa 221   = wceq 992   ∈ wcel 994   ‘cfv 3263  (class class class)co 4021  ℂcc 5386  ℝcr 5387  ici 5390   + caddc 5391   · cmul 5393   − cmin 5446  -cneg 5447  ℜcre 6948  ℑcim 6949  ∗ccj 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954

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