Theorem cldopn 7882

Description: The complement of a closed set is open.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ X = ∪J

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ∈ (Clsd ‘J)) → (X ∖ S) ∈ J)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . 3 ⊢ X = ∪J
2	1	iscld 7879	. 2 ⊢ (J ∈ Top → (S ∈ (Clsd ‘J) ↔ (S ⊆ X ⋀ (X ∖ S) ∈ J)))
3	2	pm3.27bda 421	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ∈ (Clsd ‘J)) → (X ∖ S) ∈ J)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 221   = wceq 992   ∈ wcel 994   ∖ cdif 2096   ⊆ wss 2099  ∪cuni 2569   ‘cfv 3263  Topctop 7800  Clsdccld 7870

This theorem is referenced by:  uncld 7891  clsval2 7895  iscncl 7980  opncldf1 11454  opncldf3 11456  subcld 11480  cptclsscpt 11489  dfcon2 11501  ist1-2 11603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fv 3279  df-cld 7873

Copyright terms: Public domain