Theorem climabs0 7113

Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero.

Hypotheses

Ref	Expression
climabs0.1	⊢ F ∈ V
climabs0.2	⊢ G ∈ V
climabs0.3	⊢ (k ∈ ℕ → (G ‘k) = (abs ‘(F ‘k)))

Assertion

Ref	Expression
climabs0	⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (F ⇝ 0 ↔ G ⇝ 0))

Distinct variable groups:   k,F   k,G

Proof of Theorem climabs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1687	. . . . 5 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → ∀k∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ)
2		ra4 1694	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (k ∈ ℕ → (F ‘k) ∈ ℂ))
3	2	imp 350	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ) → (F ‘k) ∈ ℂ)
4		absidmt 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((F ‘k) ∈ ℂ → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) = (abs ‘(F ‘k)))
5	3, 4	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ) → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) = (abs ‘(F ‘k)))
6	5	breq1d 2629	. . . . . 6 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ) → ((abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x ↔ (abs ‘(F ‘k)) < x))
7	6	imbi2d 612	. . . . 5 ⊢ ((∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℕ) → ((j ≤ k → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x) ↔ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
8	1, 7	ralbida 1657	. . . 4 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x) ↔ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
9	8	rexbidv 1664	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x) ↔ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
10	9	ralbidv 1663	. 2 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x) ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
11		absclt 6833	. . . . 5 ⊢ ((F ‘k) ∈ ℂ → (abs ‘(F ‘k)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 5315	. . . 4 ⊢ ((F ‘k) ∈ ℂ → (abs ‘(F ‘k)) ∈ ℂ)
13	12	r19.20si 1706	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → ∀k ∈ ℕ (abs ‘(F ‘k)) ∈ ℂ)
14		climabs0.2	. . . 4 ⊢ G ∈ V
15		climabs0.3	. . . 4 ⊢ (k ∈ ℕ → (G ‘k) = (abs ‘(F ‘k)))
16	14, 15	clm0nns 7085	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ℕ (abs ‘(F ‘k)) ∈ ℂ → (G ⇝ 0 ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x)))
17	13, 16	syl 10	. 2 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (G ⇝ 0 ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(abs ‘(F ‘k))) < x)))
18		climabs0.1	. . 3 ⊢ F ∈ V
19		eqidd 1476	. . 3 ⊢ (k ∈ ℕ → (F ‘k) = (F ‘k))
20	18, 19	clm0nns 7085	. 2 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (F ⇝ 0 ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (abs ‘(F ‘k)) < x)))
21	10, 17, 20	3bitr4rd 551	1 ⊢ (∀k ∈ ℕ (F ‘k) ∈ ℂ → (F ⇝ 0 ↔ G ⇝ 0))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 956   ∈ wcel 958  ∀wral 1645  ∃wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   ‘cfv 3182  ℂcc 5232  0cc0 5234   ≤ cle 5295  ℕcn 5296  ℝ⁺crp 5300   < clt 5486  abscabs 6750   ⇝ cli 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain