Theorem cnhl 8643

Description: The set of complex numbers is a complex Hilbert space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnhl.6	⊢ U = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnhl	⊢ U ∈ CHil

Proof of Theorem cnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishl 8616	. 2 ⊢ (U ∈ CHil ↔ (U ∈ CBan ⋀ U ∈ CPreHil))
2		cnhl.6	. . 3 ⊢ U = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
3	2	cnbn 8553	. 2 ⊢ U ∈ CBan
4	2	cnph 8503	. 2 ⊢ U ∈ CPreHil
5	1, 3, 4	mpbir2an 734	1 ⊢ U ∈ CHil

Syntax hints:   = wceq 960   ∈ wcel 962  ⟨cop 2423   + caddc 5257   · cmul 5259  abscabs 6782  CPreHilcphl 8496  CBancbn 8547  CHilchl 8614

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-sup 4589  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-div 5723  df-n 5939  df-2 5984  df-n0 6132  df-z 6168  df-uz 6386  df-seq1 6509  df-exp 6600  df-sqr 6702  df-re 6783  df-im 6784  df-cj 6785  df-abs 6786  df-clim 7007  df-met 7819  df-lm 7948  df-cau 7949  df-cmet 7950  df-grp 8063  df-gid 8064  df-ginv 8065  df-gdiv 8066  df-abl 8125  df-vc 8190  df-nv 8236  df-va 8239  df-ba 8240  df-sm 8241  df-0v 8242  df-vs 8243  df-nm 8244  df-ims 8245  df-ph 8497  df-bn 8548  df-hl 8615

Copyright terms: Public domain