Theorem divexpt 6599

Description: Nonnegative integer exponentiation of a quotient.

Assertion

Ref	Expression
divexpt	⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N)))

Proof of Theorem divexpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrect 5739	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (A / B) = (A · (1 / B)))
2	1	3expb 834	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (A / B) = (A · (1 / B)))
3	2	opreq1d 3975	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → ((A / B)↑N) = ((A · (1 / B))↑N))
4	3	adantr 389	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A / B)↑N) = ((A · (1 / B))↑N))
5		mulexpt 6594	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (1 / B) ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A · (1 / B))↑N) = ((A↑N) · ((1 / B)↑N)))
6	5	3expa 833	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (1 / B) ∈ ℂ) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A · (1 / B))↑N) = ((A↑N) · ((1 / B)↑N)))
7		recclt 5715	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (1 / B) ∈ ℂ)
8	6, 7	sylanl2 461	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A · (1 / B))↑N) = ((A↑N) · ((1 / B)↑N)))
9		recexpt 6595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0 ⋀ B ≠ 0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
10	9	3expa 833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
11	10	an1rs 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
12	11	adantll 392	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
13	12	opreq2d 3976	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A↑N) · ((1 / B)↑N)) = ((A↑N) · (1 / (B↑N))))
14		divrect 5739	. . . . . . 7 ⊢ (((A↑N) ∈ ℂ ⋀ (B↑N) ∈ ℂ ⋀ (B↑N) ≠ 0) → ((A↑N) / (B↑N)) = ((A↑N) · (1 / (B↑N))))
15		expclt 6581	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → (A↑N) ∈ ℂ)
16	15	adantlr 393	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → (A↑N) ∈ ℂ)
17		expclt 6581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ∈ ℂ)
18	17	adantll 392	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ∈ ℂ)
19	18	adantlrr 399	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ∈ ℂ)
20		expne0it 6588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0 ⋀ B ≠ 0) → (B↑N) ≠ 0)
21	20	3expa 833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → (B↑N) ≠ 0)
22	21	an1rs 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ≠ 0)
23	22	adantll 392	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ≠ 0)
24	14, 16, 19, 23	syl3anc 858	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A↑N) / (B↑N)) = ((A↑N) · (1 / (B↑N))))
25	13, 24	eqtr4d 1510	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A↑N) · ((1 / B)↑N)) = ((A↑N) / (B↑N)))
26	4, 8, 25	3eqtrd 1511	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N)))
27	26	exp42 383	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → (N ∈ ℕ0 → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N))))))
28	27	com34 36	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (N ∈ ℕ0 → (B ≠ 0 → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N))))))
29	28	3imp1 846	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 775   = wceq 956   ∈ wcel 958   ≠ wne 1585  (class class class)co 3963  ℂcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   · cmul 5239   / cdiv 5294  ℕ₀cn0 5297  ↑cexp 6568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain