Theorem dmdi2 10231

Description: Consequence of the dual modular pair property.

Assertion

Ref	Expression
dmdi2	⊢ (((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ⋀ C ∈ Cℋ ) ⋀ (A Mℋ* B ⋀ B ⊆ C)) → (C ∩ (A ∨ℋ B)) ⊆ ((C ∩ A) ∨ℋ B))

Proof of Theorem dmdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdit 10229	. 2 ⊢ (((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ⋀ C ∈ Cℋ ) ⋀ (A Mℋ* B ⋀ B ⊆ C)) → ((C ∩ A) ∨ℋ B) = (C ∩ (A ∨ℋ B)))
2		eqimss2 2110	. 2 ⊢ (((C ∩ A) ∨ℋ B) = (C ∩ (A ∨ℋ B)) → (C ∩ (A ∨ℋ B)) ⊆ ((C ∩ A) ∨ℋ B))
3	1, 2	syl 10	1 ⊢ (((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ⋀ C ∈ Cℋ ) ⋀ (A Mℋ* B ⋀ B ⊆ C)) → (C ∩ (A ∨ℋ B)) ⊆ ((C ∩ A) ∨ℋ B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 775   = wceq 956   ∈ wcel 958   ∩ cin 2046   ⊆ wss 2047   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963   C_ℋ cch 8798   ∨_ℋ chj 8802   M_ℋ^* cdmd 8836

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-dmd 10208

Copyright terms: Public domain