Theorem domfi 4684

Description: A set dominated by a finite set is finite.

Assertion

Ref	Expression
domfi	⊢ ((A ∈ Fin ⋀ B ≼ A) → B ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domeng 4521	. . 3 ⊢ (A ∈ Fin → (B ≼ A ↔ ∃x(B ≈ x ⋀ x ⊆ A)))
2		visset 1859	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
3		enfi 4680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ V ⋀ B ≈ x) → (B ∈ Fin ↔ x ∈ Fin))
4	2, 3	mpan 699	. . . . . . . 8 ⊢ (B ≈ x → (B ∈ Fin ↔ x ∈ Fin))
5		ssfi 4683	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Fin ⋀ x ⊆ A) → x ∈ Fin)
6	4, 5	syl5bir 208	. . . . . . 7 ⊢ (B ≈ x → ((A ∈ Fin ⋀ x ⊆ A) → B ∈ Fin))
7	6	exp3a 374	. . . . . 6 ⊢ (B ≈ x → (A ∈ Fin → (x ⊆ A → B ∈ Fin)))
8	7	com12 11	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Fin → (B ≈ x → (x ⊆ A → B ∈ Fin)))
9	8	imp3a 359	. . . 4 ⊢ (A ∈ Fin → ((B ≈ x ⋀ x ⊆ A) → B ∈ Fin))
10	9	19.23adv 1251	. . 3 ⊢ (A ∈ Fin → (∃x(B ≈ x ⋀ x ⊆ A) → B ∈ Fin))
11	1, 10	sylbid 201	. 2 ⊢ (A ∈ Fin → (B ≼ A → B ∈ Fin))
12	11	imp 348	1 ⊢ ((A ∈ Fin ⋀ B ≼ A) → B ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 144   ⋀ wa 221   ∈ wcel 994  ∃wex 1016  Vcvv 1857   ⊆ wss 2099   class class class wbr 2692   ≈ cen 4505   ≼ cdom 4506  Fincfn 4508

This theorem is referenced by:  xpfi 4685  fofi 4711  iunfi 4712  pwfilem 4713  pwfi 4714  compsublem 11487  compsub 11488  hscptsscld 11491  cncomp 11494  alexsub 11500  comppfsc 11578  ufilen 11664  firnfi 11828  totbndbnd 12000

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-fin 4512

Copyright terms: Public domain