Theorem ecoprass 4327

Description: Lemma used to transfer an associative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprass.1	⊢ D = ((S × S) / R)
ecoprass.2	⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = [⟨G, H⟩]R)
ecoprass.3	⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨N, Q⟩]R)
ecoprass.4	⊢ (((G ∈ S ⋀ H ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
ecoprass.5	⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (N ∈ S ⋀ Q ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
ecoprass.6	⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → (G ∈ S ⋀ H ∈ S))
ecoprass.7	⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (N ∈ S ⋀ Q ∈ S))
ecoprass.8	⊢ J = L
ecoprass.9	⊢ K = M

Assertion

Ref	Expression
ecoprass	⊢ ((A ∈ D ⋀ B ∈ D ⋀ C ∈ D) → ((AFB)FC) = (AF(BFC)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   x,B,y,z,w,v,u   x,C,y,z,w,v,u   x,F,y,z,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   x,S,y,z,w,v,u   z,D,w,v,u

Proof of Theorem ecoprass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprass.1	. 2 ⊢ D = ((S × S) / R)
2		opreq1 3975	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = (AF[⟨z, w⟩]R))
3	2	opreq1d 3982	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R))
4		opreq1 3975	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)))
5	3, 4	eqeq12d 1492	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ((([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R))))
6		opreq2 3976	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (AF[⟨z, w⟩]R) = (AFB))
7	6	opreq1d 3982	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ((AFB)F[⟨v, u⟩]R))
8		opreq1 3975	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = (BF[⟨v, u⟩]R))
9	8	opreq2d 3983	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R)))
10	7, 9	eqeq12d 1492	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R))))
11		opreq2 3976	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → ((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = ((AFB)FC))
12		opreq2 3976	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (BF[⟨v, u⟩]R) = (BFC))
13	12	opreq2d 3983	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (AF(BF[⟨v, u⟩]R)) = (AF(BFC)))
14	11, 13	eqeq12d 1492	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AFB)FC) = (AF(BFC))))
15		ecoprass.8	. . . 4 ⊢ J = L
16		ecoprass.9	. . . 4 ⊢ K = M
17		opeq12 2494	. . . . 5 ⊢ ((J = L ⋀ K = M) → ⟨J, K⟩ = ⟨L, M⟩)
18		eceq2 4285	. . . . 5 ⊢ (⟨J, K⟩ = ⟨L, M⟩ → [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R)
19	17, 18	syl 10	. . . 4 ⊢ ((J = L ⋀ K = M) → [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R)
20	15, 16, 19	mp2an 699	. . 3 ⊢ [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R
21		ecoprass.2	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = [⟨G, H⟩]R)
22	21	opreq1d 3982	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R))
23	22	adantr 391	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R))
24		ecoprass.4	. . . . . 6 ⊢ (((G ∈ S ⋀ H ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
25		ecoprass.6	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) → (G ∈ S ⋀ H ∈ S))
26	24, 25	sylan 450	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
27	23, 26	eqtrd 1510	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S)) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
28	27	3impa 830	. . 3 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
29		ecoprass.3	. . . . . . 7 ⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨N, Q⟩]R)
30	29	opreq2d 3983	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R))
31	30	adantl 390	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ ((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R))
32		ecoprass.5	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (N ∈ S ⋀ Q ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
33		ecoprass.7	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (N ∈ S ⋀ Q ∈ S))
34	32, 33	sylan2 453	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ ((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
35	31, 34	eqtrd 1510	. . . 4 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ ((z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = [⟨L, M⟩]R)
36	35	3impb 831	. . 3 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = [⟨L, M⟩]R)
37	20, 28, 36	3eqtr4a 1535	. 2 ⊢ (((x ∈ S ⋀ y ∈ S) ⋀ (z ∈ S ⋀ w ∈ S) ⋀ (v ∈ S ⋀ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)))
38	1, 5, 10, 14, 37	3ecoptocl 4312	1 ⊢ ((A ∈ D ⋀ B ∈ D ⋀ C ∈ D) → ((AFB)FC) = (AF(BFC)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ⟨cop 2416   × cxp 3175  (class class class)co 3970  [cec 4266   / cqs 4267

This theorem is referenced by:  addasspq 5082  mulasspq 5084  addasssr 5216  mulasssr 5218  axaddass 5296  axmulass 5297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-xp 3191  df-cnv 3193  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fv 3205  df-opr 3972  df-ec 4270  df-qs 4273

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