Theorem expnlbndt 6663

Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound.

Assertion

Ref	Expression
expnlbndt	⊢ ((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → ∃k ∈ ℕ (1 / (B↑k)) < A)

Distinct variable groups:   A,k   B,k

Proof of Theorem expnlbndt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnbndt 6662	. . 3 ⊢ (((1 / A) ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → ∃k ∈ ℕ (1 / A) < (B↑k))
2		rerecclt 5812	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ A ≠ 0) → (1 / A) ∈ ℝ)
3		rpret 6292	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ+ → A ∈ ℝ)
4		rpne0t 6296	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℝ+ → A ≠ 0)
5	2, 3, 4	sylanc 473	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ+ → (1 / A) ∈ ℝ)
6	1, 5	syl3an1 861	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → ∃k ∈ ℕ (1 / A) < (B↑k))
7		ltrec1t 5897	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ 0 < A) ⋀ ((B↑k) ∈ ℝ ⋀ 0 < (B↑k))) → ((1 / A) < (B↑k) ↔ (1 / (B↑k)) < A))
8		elrp 6290	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ+ ↔ (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A))
9	8	biimp 151	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ+ → (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A))
10	9	3ad2ant1 802	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A))
11	10	adantr 391	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → (A ∈ ℝ ⋀ 0 < A))
12		reexpclt 6588	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ k ∈ ℕ0) → (B↑k) ∈ ℝ)
13		nnnn0t 6115	. . . . . . . 8 ⊢ (k ∈ ℕ → k ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylan2 453	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ k ∈ ℕ) → (B↑k) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 395	. . . . . 6 ⊢ (((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → (B↑k) ∈ ℝ)
16		expgt0t 6597	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ k ∈ ℕ0 ⋀ 0 < B) → 0 < (B↑k))
17		simpll 414	. . . . . . 7 ⊢ (((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → B ∈ ℝ)
18	13	adantl 390	. . . . . . 7 ⊢ (((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → k ∈ ℕ0)
19		lt01 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
20		0re 5459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		1re 5454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		lttrt 5527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 < 1 ⋀ 1 < B) → 0 < B))
23	20, 21, 22	mp3an12 908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℝ → ((0 < 1 ⋀ 1 < B) → 0 < B))
24	19, 23	mpani 700	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℝ → (1 < B → 0 < B))
25	24	imp 350	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → 0 < B)
26	25	adantr 391	. . . . . . 7 ⊢ (((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → 0 < B)
27	16, 17, 18, 26	syl3anc 860	. . . . . 6 ⊢ (((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → 0 < (B↑k))
28	15, 27	jca 288	. . . . 5 ⊢ (((B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → ((B↑k) ∈ ℝ ⋀ 0 < (B↑k)))
29	28	3adantl1 805	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → ((B↑k) ∈ ℝ ⋀ 0 < (B↑k)))
30	7, 11, 29	sylanc 473	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) ⋀ k ∈ ℕ) → ((1 / A) < (B↑k) ↔ (1 / (B↑k)) < A))
31	30	rexbidva 1663	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → (∃k ∈ ℕ (1 / A) < (B↑k) ↔ ∃k ∈ ℕ (1 / (B↑k)) < A))
32	6, 31	mpbid 195	1 ⊢ ((A ∈ ℝ+ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ 1 < B) → ∃k ∈ ℕ (1 / (B↑k)) < A)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∃wrex 1649   class class class wbr 2625  (class class class)co 3970  ℝcr 5252  0cc0 5253  1c1 5254   / cdiv 5313  ℕcn 5315  ℕ₀cn0 5316  ℝ⁺crp 5319   < clt 5505  ↑cexp 6576

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-n 5934  df-n0 6109  df-z 6145  df-fl 6233  df-rp 6289  df-seq1 6316  df-exp 6577

Copyright terms: Public domain