Theorem hhshsslem2 9140

Description: Lemma for hhsssh 9141.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ U = ⟨⟨ +h , ·h ⟩, normh⟩
hhsst.2	⊢ W = ⟨⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩, (normh ↾ H)⟩
hhssp3.3	⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
hhssp3.4	⊢ H ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	⊢ H ∈ Sℋ

Proof of Theorem hhshsslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 9080	. 2 ⊢ (H ∈ Sℋ ↔ ((H ⊆ ℋ ⋀ 0h ∈ H) ⋀ (∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +h y) ∈ H ⋀ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ H (x ·h y) ∈ H)))
2		hhssp3.4	. . 3 ⊢ H ⊆ ℋ
3		hhsst.1	. . . . . 6 ⊢ U = ⟨⟨ +h , ·h ⟩, normh⟩
4	3	hhnv 9034	. . . . 5 ⊢ U ∈ NrmCVec
5		hhssp3.3	. . . . 5 ⊢ W ∈ (SubSp ‘U)
6	3	hh0v 9037	. . . . . 6 ⊢ 0h = (0v ‘U)
7		eqid 1478	. . . . . 6 ⊢ (0v ‘W) = (0v ‘W)
8		eqid 1478	. . . . . 6 ⊢ (SubSp ‘U) = (SubSp ‘U)
9	6, 7, 8	sspz 8397	. . . . 5 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ (SubSp ‘U)) → (0v ‘W) = 0h)
10	4, 5, 9	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (0v ‘W) = 0h
11	8	sspnv 8388	. . . . . . 7 ⊢ ((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ (SubSp ‘U)) → W ∈ NrmCVec)
12	4, 5, 11	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ W ∈ NrmCVec
13		eqid 1478	. . . . . . 7 ⊢ (Base ‘W) = (Base ‘W)
14	13, 7	nvzcl 8258	. . . . . 6 ⊢ (W ∈ NrmCVec → (0v ‘W) ∈ (Base ‘W))
15	12, 14	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (0v ‘W) ∈ (Base ‘W)
16		hhsst.2	. . . . . . 7 ⊢ W = ⟨⟨( +h ↾ (H × H)), ( ·h ↾ (ℂ × H))⟩, (normh ↾ H)⟩
17	3, 16, 5, 2	hhshsslem1 9139	. . . . . 6 ⊢ H = (Base ‘W)
18	17	eqcomi 1482	. . . . 5 ⊢ (Base ‘W) = H
19	15, 18	eleqtr 1549	. . . 4 ⊢ (0v ‘W) ∈ H
20	10, 19	eqeltrr 1548	. . 3 ⊢ 0h ∈ H
21	2, 20	pm3.2i 285	. 2 ⊢ (H ⊆ ℋ ⋀ 0h ∈ H)
22	3	hhva 9035	. . . . . . 7 ⊢ +h = ( +v ‘U)
23		eqid 1478	. . . . . . 7 ⊢ ( +v ‘W) = ( +v ‘W)
24	17, 22, 23, 8	sspgval 8391	. . . . . 6 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ (SubSp ‘U)) ⋀ (x ∈ H ⋀ y ∈ H)) → (x( +v ‘W)y) = (x +h y))
25	4, 5, 24	mpanl12 710	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ H ⋀ y ∈ H) → (x( +v ‘W)y) = (x +h y))
26	17, 23	nvgcl 8242	. . . . . 6 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ x ∈ H ⋀ y ∈ H) → (x( +v ‘W)y) ∈ H)
27	12, 26	mp3an1 905	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ H ⋀ y ∈ H) → (x( +v ‘W)y) ∈ H)
28	25, 27	eqeltrrd 1552	. . . 4 ⊢ ((x ∈ H ⋀ y ∈ H) → (x +h y) ∈ H)
29	28	rgen2a 1702	. . 3 ⊢ ∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +h y) ∈ H
30	3	hhsm 9038	. . . . . . 7 ⊢ ·h = ( ·s ‘U)
31		eqid 1478	. . . . . . 7 ⊢ ( ·s ‘W) = ( ·s ‘W)
32	17, 30, 31, 8	sspsval 8393	. . . . . 6 ⊢ (((U ∈ NrmCVec ⋀ W ∈ (SubSp ‘U)) ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ H)) → (x( ·s ‘W)y) = (x ·h y))
33	4, 5, 32	mpanl12 710	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ H) → (x( ·s ‘W)y) = (x ·h y))
34	17, 31	nvscl 8250	. . . . . 6 ⊢ ((W ∈ NrmCVec ⋀ x ∈ ℂ ⋀ y ∈ H) → (x( ·s ‘W)y) ∈ H)
35	12, 34	mp3an1 905	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ H) → (x( ·s ‘W)y) ∈ H)
36	33, 35	eqeltrrd 1552	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ H) → (x ·h y) ∈ H)
37	36	rgen2 1726	. . 3 ⊢ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ H (x ·h y) ∈ H
38	29, 37	pm3.2i 285	. 2 ⊢ (∀x ∈ H ∀y ∈ H (x +h y) ∈ H ⋀ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ H (x ·h y) ∈ H)
39	1, 21, 38	mpbir2an 732	1 ⊢ H ∈ Sℋ

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648   ⊆ wss 2051  ⟨cop 2416   × cxp 3175   ↾ cres 3179   ‘cfv 3189  (class class class)co 3970  ℂcc 5251  NrmCVeccnv 8206   +_v cpv 8207  Basecba 8208   ·_s cns 8209  0_vcn0v 8210  SubSpcss 8383   ℋ chil 8790   +_h cva 8791   ·_h csm 8792  0_hc0v 8793  norm_hcno 8796   S_ℋ csh 8799

This theorem is referenced by:  hhsssh 9141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641  ax-hilex 8871  ax-hfvadd 8872  ax-hvcom 8873  ax-hvass 8874  ax-hv0cl 8875  ax-hvaddid 8876  ax-hfvmul 8877  ax-hvmulid 8878  ax-hvmulass 8879  ax-hvdistr1 8880  ax-hvdistr2 8881  ax-hvmul0 8882  ax-hfi 8948  ax-his1 8951  ax-his2 8952  ax-his3 8953  ax-his4 8954

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-sup 4590  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-n 5934  df-2 5979  df-3 5980  df-4 5981  df-n0 6109  df-z 6145  df-seq1 6316  df-exp 6577  df-sqr 6678  df-re 6759  df-im 6760  df-cj 6761  df-abs 6762  df-grp 8041  df-gid 8042  df-ginv 8043  df-gdiv 8044  df-abl 8103  df-vc 8168  df-nv 8214  df-va 8217  df-ba 8218  df-sm 8219  df-0v 8220  df-vs 8221  df-nm 8222  df-ssp 8384  df-hnorm 8839  df-hvsub 8842  df-sh 9078

Copyright terms: Public domain