Theorem infpss 7582

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91.

Hypothesis

Ref	Expression
infpss.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
infpss	⊢ (ω ≼ A → ∃x(x ⊂ A ⋀ x ≈ A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem infpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpss.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2	1	infn0 4544	. . 3 ⊢ (ω ≼ A → A ≠ ∅)
3		ne0 2293	. . 3 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ∃y y ∈ A)
4	2, 3	sylib 198	. 2 ⊢ (ω ≼ A → ∃y y ∈ A)
5		difexg 2728	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → (A ∖ {y}) ∈ V)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (A ∖ {y}) ∈ V
7		psseq1 2139	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A ∖ {y}) → (x ⊂ A ↔ (A ∖ {y}) ⊂ A))
8		breq1 2628	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A ∖ {y}) → (x ≈ A ↔ (A ∖ {y}) ≈ A))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (x = (A ∖ {y}) → ((x ⊂ A ⋀ x ≈ A) ↔ ((A ∖ {y}) ⊂ A ⋀ (A ∖ {y}) ≈ A)))
10	6, 9	cla4ev 1872	. . . . 5 ⊢ (((A ∖ {y}) ⊂ A ⋀ (A ∖ {y}) ≈ A) → ∃x(x ⊂ A ⋀ x ≈ A))
11		snidg 2438	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ A → y ∈ {y})
12	11	ancli 296	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ A → (y ∈ A ⋀ y ∈ {y}))
13		elin 2211	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ (A ∩ {y}) ↔ (y ∈ A ⋀ y ∈ {y}))
14	12, 13	sylibr 200	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ A → y ∈ (A ∩ {y}))
15		n0i 2289	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (A ∩ {y}) → ¬ (A ∩ {y}) = ∅)
16	14, 15	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ A → ¬ (A ∩ {y}) = ∅)
17		disj4 2322	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∩ {y}) = ∅ ↔ ¬ (A ∖ {y}) ⊂ A)
18	17	con2bii 221	. . . . . 6 ⊢ ((A ∖ {y}) ⊂ A ↔ ¬ (A ∩ {y}) = ∅)
19	16, 18	sylibr 200	. . . . 5 ⊢ (y ∈ A → (A ∖ {y}) ⊂ A)
20		1onn 4260	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
21	1	infsdomnn 4543	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ A ⋀ 1o ∈ ω) → 1o ≺ A)
22	20, 21	mpan2 698	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ A → 1o ≺ A)
23		visset 1816	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
24	23	ensn1 4431	. . . . . . . 8 ⊢ {y} ≈ 1o
25		ensdomtr 4478	. . . . . . . 8 ⊢ (({y} ≈ 1o ⋀ 1o ≺ A) → {y} ≺ A)
26	24, 25	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ A → {y} ≺ A)
27	22, 26	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ A → {y} ≺ A)
28		snex 2757	. . . . . . 7 ⊢ {y} ∈ V
29	1, 28	infdif 7576	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ A ⋀ {y} ≺ A) → (A ∖ {y}) ≈ A)
30	27, 29	mpdan 706	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ A → (A ∖ {y}) ≈ A)
31	10, 19, 30	syl2an 456	. . . 4 ⊢ ((y ∈ A ⋀ ω ≼ A) → ∃x(x ⊂ A ⋀ x ≈ A))
32	31	ex 373	. . 3 ⊢ (y ∈ A → (ω ≼ A → ∃x(x ⊂ A ⋀ x ≈ A)))
33	32	19.23aiv 1297	. 2 ⊢ (∃y y ∈ A → (ω ≼ A → ∃x(x ⊂ A ⋀ x ≈ A)))
34	4, 33	mpcom 49	1 ⊢ (ω ≼ A → ∃x(x ⊂ A ⋀ x ≈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982   ≠ wne 1588  Vcvv 1814   ∖ cdif 2048   ∩ cin 2050   ⊂ wpss 2052  ∅c0 2284  {csn 2414   class class class wbr 2625  ωcom 3138  1_oc1o 4135   ≈ cen 4371   ≼ cdom 4372   ≺ csdm 4373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641  ax-ac 4761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-iso 3206  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-2o 4141  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-fin 4378  df-card 4833  df-cda 4937  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-n 5934  df-2 5979  df-n0 6109  df-z 6145  df-seq1 6316  df-exp 6577

Copyright terms: Public domain