Theorem issubspt 11059

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology".

Assertion

Ref	Expression
issubspt	⊢ ((J ∈ Top ⋀ A ∈ C ⋀ B ∈ V) → (A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ ∃v ∈ J A = (v ∩ B)))

Distinct variable groups:   v,A   v,B   v,J

Proof of Theorem issubspt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 2553	. . . . . . . 8 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → <.B, J>. = <.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.)
2	1	fveq2d 3839	. . . . . . 7 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → (subSp ‘<.B, J>.) = (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.))
3	2	eleq2d 1584	. . . . . 6 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → (A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ A ∈ (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.)))
4		rexeq1 1833	. . . . . 6 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → (∃v ∈ J A = (v ∩ B) ↔ ∃v ∈ if (J ∈ Top, J, {∅})A = (v ∩ B)))
5	3, 4	bibi12d 632	. . . . 5 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → ((A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ ∃v ∈ J A = (v ∩ B)) ↔ (A ∈ (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.) ↔ ∃v ∈ if (J ∈ Top, J, {∅})A = (v ∩ B))))
6	5	imbi2d 615	. . . 4 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → ((B ∈ V → (A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ ∃v ∈ J A = (v ∩ B))) ↔ (B ∈ V → (A ∈ (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.) ↔ ∃v ∈ if (J ∈ Top, J, {∅})A = (v ∩ B)))))
7	6	imbi2d 615	. . 3 ⊢ (J = if(J ∈ Top, J, {∅}) → ((A ∈ C → (B ∈ V → (A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ ∃v ∈ J A = (v ∩ B)))) ↔ (A ∈ C → (B ∈ V → (A ∈ (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.) ↔ ∃v ∈ if (J ∈ Top, J, {∅})A = (v ∩ B))))))
8		sn0top 7859	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ Top
9	8	elimel 2451	. . . . 5 ⊢ if(J ∈ Top, J, {∅}) ∈ Top
10	9	issubsplem1 11058	. . . 4 ⊢ ((A ∈ C ⋀ B ∈ V) → (A ∈ (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.) ↔ ∃v ∈ if (J ∈ Top, J, {∅})A = (v ∩ B)))
11	10	ex 371	. . 3 ⊢ (A ∈ C → (B ∈ V → (A ∈ (subSp ‘<.B, if(J ∈ Top, J, {∅})>.) ↔ ∃v ∈ if (J ∈ Top, J, {∅})A = (v ∩ B))))
12	7, 11	dedth 2437	. 2 ⊢ (J ∈ Top → (A ∈ C → (B ∈ V → (A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ ∃v ∈ J A = (v ∩ B)))))
13	12	3imp 833	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ A ∈ C ⋀ B ∈ V) → (A ∈ (subSp ‘<.B, J>.) ↔ ∃v ∈ J A = (v ∩ B)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 144   ⋀ w3a 781   = wceq 992   ∈ wcel 994  ∃wrex 1692  Vcvv 1857   ∩ cin 2098  ∅c0 2332   ifcif 2415  {csn 2467  <.cop 2469   ‘cfv 3263  Topctop 7800  subSpcsubsp 11054

This theorem is referenced by:  sbtpsines 11062  subtopsin2 11067  elsubsp 11477  subspid 11478  subsubtop 11479  subcld 11480  subntr 11482  cnsubsp2 11484  compsublem 11487  compsub 11488  connsub 11502  subtopmetlem 11505  subspopn 11900  subspabs 11903  metsstop 11909  icoopnst 11940  iocopnst 11941  cnimass 11949  cnres 11950  cnresima 11952  cnss 11953  txsubsp 11983

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-top 7804  df-subsp 11055

Copyright terms: Public domain