Theorem lmbrnns 7942

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space."

Hypotheses

Ref	Expression
lmbrnns.1	⊢ X = dom dom D
lmbrnns.2	⊢ (k ∈ ℕ → A = (F ‘k))

Assertion

Ref	Expression
lmbrnns	⊢ ((D ∈ Met ⋀ P ∈ X ⋀ F:ℕ–→X) → (F(⇝m ‘D)P ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (ADP) < x)))

Distinct variable groups:   j,k,x,D   j,F,k,x   P,j,k,x   j,X,k,x

Proof of Theorem lmbrnns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbrnns.1	. . 3 ⊢ X = dom dom D
2		1z 6159	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		nnuz 6439	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥ ‘1)
4	1, 2, 3	lmbrf2 7931	. 2 ⊢ ((D ∈ Met ⋀ P ∈ X ⋀ F:ℕ–→X) → (F(⇝m ‘D)P ↔ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x))))
5		lmbrnns.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (k ∈ ℕ → A = (F ‘k))
6	5	opreq1d 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (k ∈ ℕ → (ADP) = ((F ‘k)DP))
7	6	breq1d 2629	. . . . . . 7 ⊢ (k ∈ ℕ → ((ADP) < x ↔ ((F ‘k)DP) < x))
8	7	imbi2d 612	. . . . . 6 ⊢ (k ∈ ℕ → ((j ≤ k → (ADP) < x) ↔ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x)))
9	8	ralbiia 1673	. . . . 5 ⊢ (∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (ADP) < x) ↔ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x))
10	9	rexbii 1668	. . . 4 ⊢ (∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (ADP) < x) ↔ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x))
11	10	ralbii 1667	. . 3 ⊢ (∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (ADP) < x) ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x))
12		ralrp 6289	. . 3 ⊢ (∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x) ↔ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x)))
13	11, 12	bitr2 174	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → ((F ‘k)DP) < x)) ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (ADP) < x))
14	4, 13	syl6bb 536	1 ⊢ ((D ∈ Met ⋀ P ∈ X ⋀ F:ℕ–→X) → (F(⇝m ‘D)P ↔ ∀x ∈ ℝ+ ∃j ∈ ℕ ∀k ∈ ℕ (j ≤ k → (ADP) < x)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ w3a 775   = wceq 956   ∈ wcel 958  ∀wral 1645  ∃wrex 1646   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  –→wf 3178   ‘cfv 3182  (class class class)co 3963  ℝcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   ≤ cle 5295  ℕcn 5296  ℝ⁺crp 5300   < clt 5486  Metcme 7789  ⇝_mclm 7919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-z 6136  df-rp 6281  df-uz 6418  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain