Theorem metcls 7970

Description: The closure of a subset of a metric space is equal to its points of convergence. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30.

Hypotheses

Ref	Expression
metcls.1	⊢ X = dom dom D
metcls.2	⊢ J = (Open ‘D)

Assertion

Ref	Expression
metcls	⊢ ((D ∈ Met ⋀ M ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘M) = {x∣∃f(f:ℕ–→M ⋀ f(⇝m ‘D)x)})

Distinct variable groups:   x,f,D   f,J,x   f,M,x   f,X,x

Proof of Theorem metcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcls.1	. . 3 ⊢ X = dom dom D
2		metcls.2	. . 3 ⊢ J = (Open ‘D)
3		visset 1816	. . 3 ⊢ x ∈ V
4	1, 2, 3	metelcls 7969	. 2 ⊢ ((D ∈ Met ⋀ M ⊆ X) → (x ∈ ((cls ‘J) ‘M) ↔ ∃f(f:ℕ–→M ⋀ f(⇝m ‘D)x)))
5	4	abbi2dv 1581	1 ⊢ ((D ∈ Met ⋀ M ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘M) = {x∣∃f(f:ℕ–→M ⋀ f(⇝m ‘D)x)})

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  {cab 1466   ⊆ wss 2051   class class class wbr 2625  dom cdm 3177  –→wf 3185   ‘cfv 3189  ℕcn 5315  clsccl 7666  Metcme 7793  Opencopn 7796  ⇝_mclm 7923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-reg 4609  ax-inf2 4641  ax-ac 4761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-iin 2574  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-r1 4660  df-rank 4661  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-n 5934  df-n0 6109  df-z 6145  df-fl 6233  df-uz 6426  df-top 7601  df-cld 7667  df-ntr 7668  df-cls 7669  df-nei 7717  df-lp 7745  df-met 7797  df-bl 7799  df-opn 7800  df-lm 7926

Copyright terms: Public domain