Theorem metne0 7825

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	⊢ X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metne0	⊢ (D ∈ Met → (D ≠ ∅ ↔ X ≠ ∅))

Proof of Theorem metne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . . . . 6 ⊢ X = dom dom D
2	1	metf 7811	. . . . 5 ⊢ (D ∈ Met → D:(X × X)–→ℝ)
3		frel 3637	. . . . 5 ⊢ (D:(X × X)–→ℝ → Rel D)
4		reldm0 3338	. . . . 5 ⊢ (Rel D → (D = ∅ ↔ dom D = ∅))
5	2, 3, 4	3syl 20	. . . 4 ⊢ (D ∈ Met → (D = ∅ ↔ dom D = ∅))
6		fdm 3638	. . . . . 6 ⊢ (D:(X × X)–→ℝ → dom D = (X × X))
7		relxp 3262	. . . . . . 7 ⊢ Rel (X × X)
8		releq 3250	. . . . . . 7 ⊢ (dom D = (X × X) → (Rel dom D ↔ Rel (X × X)))
9	7, 8	mpbiri 194	. . . . . 6 ⊢ (dom D = (X × X) → Rel dom D)
10	6, 9	syl 10	. . . . 5 ⊢ (D:(X × X)–→ℝ → Rel dom D)
11		reldm0 3338	. . . . 5 ⊢ (Rel dom D → (dom D = ∅ ↔ dom dom D = ∅))
12	2, 10, 11	3syl 20	. . . 4 ⊢ (D ∈ Met → (dom D = ∅ ↔ dom dom D = ∅))
13	5, 12	bitrd 530	. . 3 ⊢ (D ∈ Met → (D = ∅ ↔ dom dom D = ∅))
14	1	eqeq1i 1485	. . 3 ⊢ (X = ∅ ↔ dom dom D = ∅)
15	13, 14	syl6bbr 540	. 2 ⊢ (D ∈ Met → (D = ∅ ↔ X = ∅))
16	15	necon3bid 1604	1 ⊢ (D ∈ Met → (D ≠ ∅ ↔ X ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  ∅c0 2284   × cxp 3175  dom cdm 3177  Rel wrel 3182  –→wf 3185  ℝcr 5252  Metcme 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fv 3205  df-opr 3972  df-met 7797

Copyright terms: Public domain