Theorem ndmfv 3745

Description: The value of a class outside its domain is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ndmfv	⊢ (¬ A ∈ dom F → (F ‘A) = ∅)

Proof of Theorem ndmfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x ∈ dom F ↔ A ∈ dom F))
2		breq1 2622	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (xFy ↔ AFy))
3	2	exbidv 1279	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (∃y xFy ↔ ∃y AFy))
4		visset 1813	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
5	4	eldm 3307	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ dom F ↔ ∃y xFy)
6	1, 3, 5	vtoclbg 1848	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ dom F ↔ ∃y AFy))
7		euex 1394	. . . . 5 ⊢ (∃!y AFy → ∃y AFy)
8	6, 7	syl5bir 210	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (∃!y AFy → A ∈ dom F))
9	8	con3d 95	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (¬ A ∈ dom F → ¬ ∃!y AFy))
10		tz6.12-2 3739	. . 3 ⊢ (¬ ∃!y AFy → (F ‘A) = ∅)
11	9, 10	syl6 22	. 2 ⊢ (A ∈ V → (¬ A ∈ dom F → (F ‘A) = ∅))
12		fvprc 3721	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V → (F ‘A) = ∅)
13	12	a1d 12	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → (¬ A ∈ dom F → (F ‘A) = ∅))
14	11, 13	pm2.61i 126	1 ⊢ (¬ A ∈ dom F → (F ‘A) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   = wceq 956   ∈ wcel 958  ∃wex 980  ∃!weu 1380  Vcvv 1811  ∅c0 2280   class class class wbr 2619  dom cdm 3170   ‘cfv 3182

This theorem is referenced by:  ndmfvrcl 3746  elfvdm 3747  nfvres 3748  funfv 3770  fvco 3774  fvopab4ndm 3784  funiunfv 3866  rdgsucopabn 3947  oprprc1 3984  oprssdm 4042  ndmoprg 4043  1st2val 4095  2nd2val 4096  r1tr 4654  alephon 4865  alephcard 4867  alephnbtwn 4868  alephgeom 4882  cfub 4908  cardcf 4911  cflecard 4912  cfle 4913  uzssz 6430  alephadd 7582  issubg 8116  0vfval 8225  vsfval 8254  dmadjrnb 9830  hmdmadjt 9864

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain