Theorem nvdm 8289

Description: Two ways to express the set of vectors in a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvdm.2	⊢ G = ( +v ‘U)
nvdm.6	⊢ N = (norm ‘U)

Assertion

Ref	Expression
nvdm	⊢ (U ∈ NrmCVec → (X = dom N ↔ X = ran G))

Proof of Theorem nvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . . . 6 ⊢ (Base ‘U) = (Base ‘U)
2		nvdm.2	. . . . . 6 ⊢ G = ( +v ‘U)
3	1, 2	bafval 8223	. . . . 5 ⊢ (Base ‘U) = ran G
4	3	eqcomi 1479	. . . 4 ⊢ ran G = (Base ‘U)
5		nvdm.6	. . . 4 ⊢ N = (norm ‘U)
6	4, 5	nvf 8286	. . 3 ⊢ (U ∈ NrmCVec → N:ran G–→ℝ)
7		fdm 3631	. . 3 ⊢ (N:ran G–→ℝ → dom N = ran G)
8	6, 7	syl 10	. 2 ⊢ (U ∈ NrmCVec → dom N = ran G)
9	8	eqeq2d 1486	1 ⊢ (U ∈ NrmCVec → (X = dom N ↔ X = ran G))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   = wceq 956   ∈ wcel 958  dom cdm 3170  ran crn 3171  –→wf 3178   ‘cfv 3182  ℝcr 5233  NrmCVeccnv 8203   +_v cpv 8204  Basecba 8205  normcnm 8209

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain