Theorem projlem 9219

Description: Lemma 3.6 of [Beran] p. 101: "Let H be a complete subspace of a (pre-)Hilbert space ℋ and let A ∈ ℋ. Then there exists a vector x ∈ H such that (norm ‘(x −_h A)) ≤ (norm ‘(y −_h A)) for every y ∈ H." This is a lemma for the projection theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem.2	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
projlem	⊢ ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A))

Distinct variable groups:   x,y,H   x,A,y

Proof of Theorem projlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℋ
2		projlem.2	. . 3 ⊢ H ∈ Cℋ
3		eqid 1478	. . 3 ⊢ {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))} = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}
4		eqid 1478	. . 3 ⊢ -sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) = -sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < )
5	1, 2, 3, 4	projlem17 9204	. 2 ⊢ ∃f(f:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) − (1 / w)) < (normh ‘((f ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((f ‘w) −h A)) < (-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) + (1 / w))))
6		pm4.2 170	. . . 4 ⊢ ((f:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) − (1 / w)) < (normh ‘((f ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((f ‘w) −h A)) < (-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) + (1 / w)))) ↔ (f:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) − (1 / w)) < (normh ‘((f ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((f ‘w) −h A)) < (-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) + (1 / w)))))
7		visset 1816	. . . 4 ⊢ f ∈ V
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	projlem31 9218	. . 3 ⊢ ((f:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) − (1 / w)) < (normh ‘((f ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((f ‘w) −h A)) < (-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) + (1 / w)))) → ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A)))
9	8	19.23aiv 1297	. 2 ⊢ (∃f(f:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) − (1 / w)) < (normh ‘((f ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((f ‘w) −h A)) < (-sup({u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}, ℝ, < ) + (1 / w)))) → ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A)))
10	5, 9	ax-mp 7	1 ⊢ ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A))

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  {crab 1651   class class class wbr 2625  –→wf 3185   ‘cfv 3189  (class class class)co 3970  supcsup 4589  ℝcr 5252  1c1 5254   + caddc 5256   − cmin 5311  -cneg 5312   / cdiv 5313   ≤ cle 5314  ℕcn 5315   < clt 5505   ℋ chil 8790   −_h cmv 8794  norm_hcno 8796   C_ℋ cch 8800

This theorem is referenced by:  pjth 9235

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641  ax-ac 4761  ax-hilex 8871  ax-hfvadd 8872  ax-hvcom 8873  ax-hvass 8874  ax-hv0cl 8875  ax-hvaddid 8876  ax-hfvmul 8877  ax-hvmulid 8878  ax-hvmulass 8879  ax-hvdistr1 8880  ax-hvdistr2 8881  ax-hvmul0 8882  ax-hfi 8948  ax-his1 8951  ax-his2 8952  ax-his3 8953  ax-his4 8954  ax-hcompl 9073

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-sup 4590  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-n 5934  df-2 5979  df-3 5980  df-4 5981  df-n0 6109  df-z 6145  df-seq1 6316  df-uz 6426  df-exp 6577  df-sqr 6678  df-re 6759  df-im 6760  df-cj 6761  df-abs 6762  df-clim 6982  df-hnorm 8839  df-hvsub 8842  df-hlim 8843  df-hcau 8844  df-sh 9078  df-ch 9094

Copyright terms: Public domain