Theorem projlem31 9240

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. The postulated vector sequence F implies our conclusion. By showing such a sequence exists (which was done with the Axiom of Choice in projlem17 9226), we can show the final conclusion, projlem 9241.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem27.1	⊢ A ∈ ℋ
projlem27.2	⊢ H ∈ Cℋ
projlem27.3	⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}
projlem27.4	⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
projlem27.5	⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (normh ‘((F ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((F ‘w) −h A)) < (R + (1 / w)))))
projlem31.6	⊢ F ∈ V

Assertion

Ref	Expression
projlem31	⊢ (φ → ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A)))

Distinct variable groups:   v,u,x,y,w,A   u,H,v,x   x,F,y,w   x,R,y,w   φ,x,y

Proof of Theorem projlem31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem27.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℋ
2		projlem27.2	. . 3 ⊢ H ∈ Cℋ
3		projlem27.3	. . 3 ⊢ S = {u ∈ ℝ∣∃v ∈ H u = -(normh ‘(v −h A))}
4		projlem27.4	. . 3 ⊢ R = -sup(S, ℝ, < )
5		projlem27.5	. . 3 ⊢ (φ ↔ (F:ℕ–→H ⋀ ∀w ∈ ℕ ((R − (1 / w)) < (normh ‘((F ‘w) −h A)) ⋀ (normh ‘((F ‘w) −h A)) < (R + (1 / w)))))
6	1, 2, 3, 4, 5	projlem30 9239	. 2 ⊢ (φ → ∃x ∈ H F ⇝v x)
7	1, 2, 3, 4	projlem11 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ R ∈ ℝ
8	7	elisseti 1825	. . . . . . . . 9 ⊢ R ∈ V
9		fvex 3748	. . . . . . . . 9 ⊢ (normh ‘(x −h A)) ∈ V
10	8, 9	climunii 7131	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨z, y⟩∣(z ∈ ℕ ⋀ y = (normh ‘((F ‘z) −h A)))} ⇝ R ⋀ {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℕ ⋀ y = (normh ‘((F ‘z) −h A)))} ⇝ (normh ‘(x −h A))) → R = (normh ‘(x −h A)))
11		eqid 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℕ ⋀ y = (normh ‘((F ‘z) −h A)))} = {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℕ ⋀ y = (normh ‘((F ‘z) −h A)))}
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	projlem26 9235	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℕ ⋀ y = (normh ‘((F ‘z) −h A)))} ⇝ R)
13		projlem31.6	. . . . . . . . 9 ⊢ F ∈ V
14	11, 1, 13	projlem25 9234	. . . . . . . 8 ⊢ (F ⇝v x → {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℕ ⋀ y = (normh ‘((F ‘z) −h A)))} ⇝ (normh ‘(x −h A)))
15	10, 12, 14	syl2an 457	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ⋀ F ⇝v x) → R = (normh ‘(x −h A)))
16	15	breq1d 2644	. . . . . 6 ⊢ ((φ ⋀ F ⇝v x) → (R ≤ (normh ‘(y −h A)) ↔ (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A))))
17	1, 2, 3, 4	projlem12 9221	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ H → R ≤ (normh ‘(y −h A)))
18	16, 17	syl5bi 208	. . . . 5 ⊢ ((φ ⋀ F ⇝v x) → (y ∈ H → (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A))))
19	18	r19.21aiv 1720	. . . 4 ⊢ ((φ ⋀ F ⇝v x) → ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A)))
20	19	ex 373	. . 3 ⊢ (φ → (F ⇝v x → ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A))))
21	20	r19.22sdv 1745	. 2 ⊢ (φ → (∃x ∈ H F ⇝v x → ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A))))
22	6, 21	mpd 26	1 ⊢ (φ → ∃x ∈ H ∀y ∈ H (normh ‘(x −h A)) ≤ (normh ‘(y −h A)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∀wral 1652  ∃wrex 1653  {crab 1655  Vcvv 1818   class class class wbr 2634  {copab 2681  –→wf 3194   ‘cfv 3198  (class class class)co 3979  supcsup 4588  ℝcr 5253  1c1 5255   + caddc 5257   − cmin 5312  -cneg 5313   / cdiv 5314   ≤ cle 5315  ℕcn 5316   < clt 5506   ⇝ cli 7006   ℋ chil 8812   −_h cmv 8816  norm_hcno 8818   ⇝_v chli 8820   C_ℋ cch 8822

This theorem is referenced by:  projlem 9241

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642  ax-hilex 8893  ax-hfvadd 8894  ax-hvcom 8895  ax-hvass 8896  ax-hv0cl 8897  ax-hvaddid 8898  ax-hfvmul 8899  ax-hvmulid 8900  ax-hvmulass 8901  ax-hvdistr1 8902  ax-hvdistr2 8903  ax-hvmul0 8904  ax-hfi 8970  ax-his1 8973  ax-his2 8974  ax-his3 8975  ax-his4 8976  ax-hcompl 9095

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-sup 4589  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-div 5723  df-n 5939  df-2 5984  df-3 5985  df-4 5986  df-n0 6132  df-z 6168  df-uz 6386  df-seq1 6509  df-exp 6600  df-sqr 6702  df-re 6783  df-im 6784  df-cj 6785  df-abs 6786  df-clim 7007  df-hnorm 8861  df-hvsub 8864  df-hlim 8865  df-hcau 8866  df-sh 9100  df-ch 9116

Copyright terms: Public domain