Theorem pwuninel 4486

Description: The power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set.

Assertion

Ref	Expression
pwuninel	⊢ ¬ ℘∪A ∈ A

Proof of Theorem pwuninel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4472	. . 3 ⊢ ¬ ℘∪A ≺ ℘∪A
2		uniexb 2907	. . . 4 ⊢ (A ∈ V ↔ ∪A ∈ V)
3		ssdom2g 4409	. . . . . 6 ⊢ (∪A ∈ V → (℘∪A ⊆ ∪A → ℘∪A ≼ ∪A))
4		domsdomtr 4476	. . . . . . . 8 ⊢ ((℘∪A ≼ ∪A ⋀ ∪A ≺ ℘∪A) → ℘∪A ≺ ℘∪A)
5		canth2g 4485	. . . . . . . 8 ⊢ (∪A ∈ V → ∪A ≺ ℘∪A)
6	4, 5	sylan2 451	. . . . . . 7 ⊢ ((℘∪A ≼ ∪A ⋀ ∪A ∈ V) → ℘∪A ≺ ℘∪A)
7	6	expcom 374	. . . . . 6 ⊢ (∪A ∈ V → (℘∪A ≼ ∪A → ℘∪A ≺ ℘∪A))
8	3, 7	syld 27	. . . . 5 ⊢ (∪A ∈ V → (℘∪A ⊆ ∪A → ℘∪A ≺ ℘∪A))
9		elssuni 2526	. . . . 5 ⊢ (℘∪A ∈ A → ℘∪A ⊆ ∪A)
10	8, 9	syl5 21	. . . 4 ⊢ (∪A ∈ V → (℘∪A ∈ A → ℘∪A ≺ ℘∪A))
11	2, 10	sylbi 199	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (℘∪A ∈ A → ℘∪A ≺ ℘∪A))
12	1, 11	mtoi 107	. 2 ⊢ (A ∈ V → ¬ ℘∪A ∈ A)
13		elisset 1817	. . . 4 ⊢ (℘∪A ∈ A → ℘∪A ∈ V)
14		pwexb 2908	. . . . 5 ⊢ (∪A ∈ V ↔ ℘∪A ∈ V)
15	2, 14	bitr 173	. . . 4 ⊢ (A ∈ V ↔ ℘∪A ∈ V)
16	13, 15	sylibr 200	. . 3 ⊢ (℘∪A ∈ A → A ∈ V)
17	16	con3i 98	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → ¬ ℘∪A ∈ A)
18	12, 17	pm2.61i 126	1 ⊢ ¬ ℘∪A ∈ A

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ∈ wcel 958  Vcvv 1811   ⊆ wss 2047  ℘cpw 2401  ∪cuni 2503   class class class wbr 2619   ≼ cdom 4365   ≺ csdm 4366

This theorem is referenced by:  pnfnre 5496  spwnex3 8655

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain