Theorem rehaus 7902

Description: The standard topology on the reals is Hausdorff.

Assertion

Ref	Expression
rehaus	⊢ (topGen ‘ran (,)) ∈ Haus

Proof of Theorem rehaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		eqid 1475	. . 3 ⊢ (Open ‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (Open ‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3	1, 2	tgioo 7900	. 2 ⊢ (topGen ‘ran (,)) = (Open ‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4	1	remet 7895	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ Met
5	4, 2	methausi 7866	. 2 ⊢ (Open ‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∈ Haus
6	3, 5	eqeltr 1544	1 ⊢ (topGen ‘ran (,)) ∈ Haus

Syntax hints:   ∈ wcel 958   × cxp 3168  ran crn 3171   ↾ cres 3172   ∘ ccom 3174   ‘cfv 3182  ℝcr 5225   − cmin 5284  (,)cioo 6343  abscabs 6736  topGenctg 7576  Hauscha 7766  Opencopn 7777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4566  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-0 5233  df-1 5234  df-i 5235  df-r 5236  df-plus 5237  df-mul 5238  df-lt 5239  df-sub 5348  df-neg 5350  df-pnf 5479  df-mnf 5480  df-xr 5481  df-ltxr 5482  df-le 5483  df-div 5691  df-n 5913  df-2 5958  df-n0 6088  df-z 6124  df-q 6242  df-seq1 6294  df-ioo 6347  df-exp 6555  df-sqr 6656  df-re 6737  df-im 6738  df-cj 6739  df-abs 6740  df-top 7577  df-bases 7579  df-topgen 7580  df-haus 7767  df-met 7778  df-bl 7780  df-opn 7781

Copyright terms: Public domain