Theorem stoig2 11065

Description: The underlying set of a subspace topology.

Assertion

Ref	Expression
stoig2	⊢ ((J ∈ Top ⋀ A ⊆ ∪J) → ∪(subSp ‘<.A, J>.) = A)

Proof of Theorem stoig2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoig 11064	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ A ⊆ ∪J) → <.A, (subSp ‘<.A, J>.)>. ∈ TopSp)
2		istps 7818	. . 3 ⊢ (<.A, (subSp ‘<.A, J>.)>. ∈ TopSp ↔ ((subSp ‘<.A, J>.) ∈ Top ⋀ A = ∪(subSp ‘<.A, J>.)))
3		id 59	. . . . 5 ⊢ (∪(subSp ‘<.A, J>.) = A → ∪(subSp ‘<.A, J>.) = A)
4	3	eqcoms 1521	. . . 4 ⊢ (A = ∪(subSp ‘<.A, J>.) → ∪(subSp ‘<.A, J>.) = A)
5	4	adantl 388	. . 3 ⊢ (((subSp ‘<.A, J>.) ∈ Top ⋀ A = ∪(subSp ‘<.A, J>.)) → ∪(subSp ‘<.A, J>.) = A)
6	2, 5	sylbi 197	. 2 ⊢ (<.A, (subSp ‘<.A, J>.)>. ∈ TopSp → ∪(subSp ‘<.A, J>.) = A)
7	1, 6	syl 10	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ A ⊆ ∪J) → ∪(subSp ‘<.A, J>.) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 221   = wceq 992   ∈ wcel 994   ⊆ wss 2099  <.cop 2469  ∪cuni 2569   ‘cfv 3263  Topctop 7800  TopSpctps 7801  subSpcsubsp 11054

This theorem is referenced by:  stfincomp 11122  singcon 11137  subcld 11480  subcls 11481  subntr 11482  cnsubsp 11483  cnsubsp2 11484  compsublem 11487  compsub 11488  connsub 11502  ivthALT 11515  cnimass 11949  cnres 11950  cnres2 11951  cnresima 11952  cnss 11953  piececn 11955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-top 7804  df-topsp 7805  df-subsp 11055

Copyright terms: Public domain